弘毅考研_20122数学讲座43-44.pdf

《弘毅考研_20122数学讲座43-44.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2012数学讲座（43—44）矩阵的秩四讲第7讲。矩阵，向量“秩”一致矩阵“秩”的定义是用行列式来描述的。但是要从理论上深入讨论矩阵的“秩”，用向量工具更为方便。1．向量组的最大无关组与秩讨论向量组的线性相关性，其应用背景是，“一个齐次线性方程组中，究竟有多少个方程是相互独立的？”因而我们相应最关心，“一个向量组中，最多有几个向量能线性无关，即相互独立。”最大无关组——如果一个向量组的子组线性无关。且把组内别的任何一个向量添加进去，得到的新子组都一定线性相关。则称此线性无关的子组是向量组的一个最大无关组。向量组的“秩”——一

2、个向量组可能有好些个最大无关组。但是，最大无关组中含有的向量个数必定相同。（由后述“基本定哩”保证。）称为向量组的“秩”。最大无关组的基本作用——唯一地线性表示组内每一个向量。（*画外音：如果给最大无关组中向量一个排立顺序，就能使组内各向量与“有序（系）数组”成一一对应，这就自然生成了向量集合内的“坐标”。）有趣的是，最大无关组如何唯一地线性表示自身内部的任一向量呢？当然只能是自己的系数取1，其它的系数为0；因为它们彼此之间不存在任何线性关系。（*潜台词：任何一个最大无关组，作为“坐标基“，它自身的“坐标”总是“单位向量组”

3、（1，0，…，0），（0，1，…，0），……，（0，0，…，1））对向量组而言，最大无关组是个客观存在。你需要用它的时候，你就把它设出来。一个在研考题中最常见却又最简单的事实是，“如果一个向量组共有k个向量，又已知其中的k－1个向量线性无关。则向量组的秩为k－1，该无关组就是它的最大无关组。”例44（1）向量组增加一个（或一些）向量而秩不变，则新增的那个（些）向量可以被原组向量线性表示。vvvvvv（2）若向量组a1,L,ak线性无关。而向量组a1,L,ak,β线性相关，则向量β可以vv由a1,L,ak线性表示。分析（1）因

4、为新组包含旧组，且，新组的秩=旧组的秩，故旧组的最大无关组也是新组的最大无关组。新增的向量可以被旧组的最大无关组线性表示。其它向量都给以零系数加上去，则新增的向量被原组向量线性表示。（潜台词：向量组增加一个向量，其秩或不变，或增加1）vvvvv（2）显然，向量组a1,L,ak是向量组a1,L,ak,β的最大无关组。故题断成立。或用定义直接讨论：由已知条件及线性相关的定义，存在一组不全为0的数c1,L,ck,ck+1使得vvvc1a1+L+ckak+ck+1β=01若系数ck+1=0，则由已知线性无关性得c1=L=ck=0，矛

5、盾。故ck+1≠0，向vv量β可以由a1,L,ak线性表示。例45已知向量组α1,α2,α3线性相关；向量组α2,α3,α4线性无关。试问（1）向量α1能否由α2,α3线性表示？（2）向量α4能否由α1,α2,α3线性表示？分析（1）向量组α2,α3,α4线性无关，所以，α2,α3线性无关，已知向量组α1,α2,α3线性相关，显然α2,α3正好是它的一个最大无关组。向量α1可以由α2,α3线性表示。（且唯一地线性表示。）（2）如果α4能由α1,α2,α3线性表示，则由（1）的结论，（潜台词：把α1的线性表示式代入。）α4就能

6、由α2,α3线性表示，这和已知α2,α3,α4线性无关矛盾。例46若向量组α1,α2线性无关，而α1,α2,β线性相关，α1,α2,γ线性无关，则向量组α1,α2,β+γ线性无关。证明已知表明，α1,α2是向量组α1,α2,β的最大无关组，向量β可以由α1,α2线性表示。设有数组c1，c2，c3，使c1α1+c2α2+c3（β+γ）=0如果c3=0，因为已知α1,α2线性无关，只有c1=c2=0，结论得证。如果c3≠0，则向量β+γ可以被α1,α2线性表示。结合前述知，γ也可以被α1,α2线性表示。与已知矛盾。只有c3=02

7、．向量基本定理定理如果甲向量组的每一个向量都可以被乙向量组线性表示，则甲向量组的秩r（甲）≤乙向量组的秩r（乙）等价向量组——如果两个向量组能相互线性表示。则它们的秩相等。并称为等价向量组。应该注意——（1）甲向量组的每一个向量都可以被乙向量组线性表示，实际上是被乙向量组的最大无关组线性表示。（潜台词：甲的最大无关组所含向量个数≤乙的最大无关组向量个数。）（2）如果甲向量组的每一个向量可以由乙向量组线性表示，而甲组向量个数＞乙组向量个数，则甲向量组必定线性相关。实际上，唯一的信息链是：秩r（甲）≤秩r（乙）≤乙组向量个数＜甲

8、组向量个数n+1个n维向量必定线性相关，是因为它们可以由前述单位向量组线性表示。vvv（3）等价关系是一个较为复杂的关系。一个向量b能否被矩阵A=(a1,L,an)的列v向量组线性表示，等价于线性方程组AX=b是否有解的问题。（4）一个向量组（或集）的最大无关组两两等价；n维向量空间的基向