函数地极值和最大、最小值.ppt

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1、函数的极值和最大、最小值中国青年政治学院邓艳娟一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。反需求函数为P=100-x厂商的利润∏(x)=px-C=100x-x2-25x一、函数的极值1、定义设f(x)在区间(a,b)内有定义,是(a,b)内的一点.如果对于的一个去心邻域内的任何点x,都有则称是f(x)的一个极大值(极小值).极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.注（1）极值是局部概念，不同于最大（小）值，极小值不一

2、定小于极大值。（2）极值点不能在端点证(极小值的情况可类似证明)假定是极大值驻点.2、必要条件设f(x)在的一个去心邻域内可导且(1)(2)(负),(正),(极小值);3、第一充分条件(a)(b)(c)(d)求函数的极值可按如下步骤进行:（1）求定义域（2）求使f’(x)=0的点，或使f’(x)不存在的点（3）上述各点把定义域分成若干个区间，列表讨论在各个区间上的单调性，并求极值。一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。反需求函

3、数为P=100-x厂商的利润∏(x)=px-C=100x-x2-25xx*表示使厂商利润最大化的产量，可得∏′(x*)=100-x-25=０x*=37.5厂商的利润最大化价格P*=100-x*=62.5和最大化利润∏(x*)=1406.25。一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=0.1x３-３x２+50x+200，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。厂商的利润∏(x)=100x-x2-[0.1x３-３x２+50x+200]∏′(x*)=100-2x-0.3x2+6x-5

4、0=０例解(2)(1)厂商的利润最大化价格P*=100-x*=78.80和最大化利润∏(x*)=806.07。极小极大一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，图书的作者可以得到每本卖出的书的销售价格的１０％作为版权费，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。作者的收入Ｙ(x)=０.1px＝０.1R(ｘ)=0.1(100x-x2)出版商的利润∏(x)=R(x)-C(x)-Y(x)=65-0.9x2作者的希望销售量x*=50销售价格P*=50出版商的希望销售量x*=36.

5、1销售价格P*=63.9出版商总是定一个更高的价格而卖出比作者希望的数量少的书。作者的收入Ｙ(x)=rpx,0

6、(1)因此(2)可类似证明.一个垄断者（书商）面临着一个线性需求函数x=100-p，其中x是需求（产出），p是价格。这个厂商的成本函数为C=25x，考虑厂商的利润最大化价格和最大化利润。反需求函数为P=100-x厂商的利润∏(x)=px-C=100x-x2-25x∏"(x)=-2<0例解注例解假设垄断厂商有线性需求函数x=a-bp，其中x是需求，p是价格，且总有一个线性总成本函数C=cx。但是这个垄断者不能自由的选择它的价格。一个监管机构设定了一个它能要求的最大价格q。其中q≥c，否则这个厂商将会倒闭。厂商收入函数R(p)=px=ap-bp2厂

7、商成本函数C(p)=cx=ca-cbp问题：max∏(p)=ap-bp2-(ca-cbp)s.t.q≥p二、函数的最大、最小值1.最大（小）值点端点内部——驻点求出端点和驻点的函数值，其中最大（小）的就是函数的最大（小）值注1)若f(x)在一个区间内可导且只有一个驻点且是f(x)的极大值点(极小值点),就是f(x)在则该区间上的最大值(最小值).2)实际问题中,若根据问题的性质可以断定可导函数确有最大值(或最小值),并且一定在定义区间内部取得,而此时在定义区间内部只有一个驻点则可断定是最大值(或最小值)。,0x问题１如果x*是问题maxf(x)

8、s.t.a≤x≤b的一个最优解，则它至少满足下面一个条件：f′(x*)≤0且(x*-a)f′(x*)=0f′(x*)≥0且(b-x*)f′(x*)=0