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1、三．近自由电子模型无限大真空中自由电子k可取连续值周期性边界条件自由电子气k取分离值索末菲模型自由电子费米气泡利不相容费米分布S－方程周期势场微扰近自由电子模型晶体中电子与自由电子的区别在于周期边界条件和周期势场。如果假设晶体中有一个很弱的周期势场，则电子的运动情况应当与自由电子比较接近，但同时也必然能体现出周期势场中电子状态的新特点，这样的电子就叫近自由电子。近自由电子哈密顿算符可写成:其中是自由电子的哈密顿算符；后用或两边取共轭∵周期场是实的V(x)＝V※（x）∴VGn※＝V－GnV※n＝V－n后用1.定态非简并微扰由量子力学定态非简并微扰理论可知，定态薛定谔方程(k,r
2、)＝E(k)(k,r)的解是E(k)＝E(0)(k)＋E(1)(k)＋E(2)(k)＋…(k,r)＝(0)(k,r)+(1)(k,r)＋…零级近似解，就是自由电子的解：(0)(k,r)＝由量子力学理论可知，一级修正和二级修正分别为E(1)(k)＝H’kk＝(k,r)V(r)(0)(k,r)dr＝=0由平面波的正交归一性其中微扰矩阵元Hkk’＝（0〕※(k,r)V(r)(0)(k’，r)dr后用交换求和次序∴E(k)＝E(0)(k)+E(2)(k)其中ψ(k,r)＝ψ(0)(k,r)+ψ(1)(k,r)讨论：①晶体中的波函数ψ(k,r)由两部分组成：一部分
3、是原来波矢为k的平面波，另一部分是波矢为k－Gh的散射波的叠加。周期势场V(r)较弱时，它的展开系数VGh也较小，当k2与
4、k－Gh
5、2相差较大时，散射波较弱。使E(2)(k)→∞（不收敛）的条件：E(0)(k)＝E(0)(k，)k’=k－Gh②当E(0)(k)＝E(0)(k，)，能量相等，是否以上计算无效？∵k’≠k－Gh的态未进入E、ψ的表示式，这样的k’态和k态之间无耦合。先计算，只有当≠0时，二态之间才有耦合，在所有有耦合的态中，再考虑有无简并而分别处理。若有简并按下面的简并微扰处理。思路：2．定态简并微扰k-k’=n+n=Gh且E(0)(k)＝E(0)(k’)∴布里
6、渊区边界的二态简并。由上式看到，当满足E(0)(k)＝E(0)(k，)k’=k+Gh时修正项很大，应该用定态简并微扰理论。例如：当k＝nk’＝－n由量子力学简并微扰理论ψ(0)（k,r）＝Aψ（0）（k,r）＋Bψ（0）（k’,r）考虑一维情况，注意到（0）ψ（0）（k,x）＝E（0）(k)ψ（0）（k,x）代入得A[E(0)(k)-E(k)+V(x)]eikx+ +B[E(0)(k)-E(k)+V(x)]eik’x=0等式两边乘e－ikx，并对整个晶体积分，并注意到E(0)(k)，E(k)不是x的函数，并利用（0〕※(k,r)V(r)(0)(k,r)dr=V(x)=
7、0类似，等式两边乘e－ik’x，并对整个晶体积分得到-V※nA+[E(k)-E(0)(k)]B=0(B)得到[E(k)-E(0)(k)]A-BVn=0(A)已知A和B同时具有非零解的条件是E(k)-E(0)(k)-Vn=0-V※nE(k)-E(0)(k)可解得能量差为2
8、Vn
9、,则原来能量相等的两个态的能量不再相等，简并消除，出现禁带，所以说，禁带的出现是周期场作用的结果。3．能隙产生的物理解释若利用E（k）的表示式可确定A，B，即可得到波函数的表示式。将※以一维晶体为例，第一B.Z的边界k=(π/a)，k’＝-(π/a)是两个简并态,有代入A式[E(k)-E(0)(k)]A
10、-BVn=0(A)得到±
11、V1
12、A－V1B=0得＝V1/±
13、V1
14、－V－1A±
15、V1
16、B＝0得＝±
17、V1
18、/V-1-V※nA+[E(k)-E(0)(k)]B=0(B)类似，代入B式，并注意到V※n=V-n,得又∵V(x)是周期函数，在各向同性的晶体中，选取合适的坐标系，可使∴Vn＝Vn*V(x)＝V(-x)＝而前面已得Vn*＝V－n∴Vn＝V－n∴（A/B）＝±1由※式因而ψ（π/a,x）有两个解，对应二个带：90电子云驻波分布ρ＋＝│Ψ+(0)│2＝4L－1A2Cos2(πx/a)ρ-＝│Ψ-(0)│2＝4L－1A2Sin2(πx/a)由图可知，ψ－(π/a,x)的势能 比
19、ψ＋(π/a,x)的势能高。 这就是在B.Z.边界上能量产生不连续跳跃的原因。势能之差＝能隙＝2│Vn│4．近自由电子的状态密度自由电子的态密度函数D（E）为对晶体中的电子以二维正方晶格为例，当波矢k到达布里渊区边界时，出现禁带，宽度为2│Vn│，当波矢远离布里渊区边界时，电子能量基本仍为自由电子的表示式，从远离到接近布里渊区边界的过程中，修正项逐渐增大，但其变化应是连续的。
