张永德教授量子力学讲义 第一章.pdf

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1、第一章量子力学的物理基础§1.1，实验基础1,第一组实验——光的粒子性实验：黑体辐射、光电效应、Compton散射能量分立、辐射场量子化的概念，实验揭示了光的粒子性质。《黑体辐射谱问题》黑体辐射谱的Wien经验公式（1894年）：考虑黑体空腔中单位体积的辐射场，令其中频率在ν→+νdν间的能量密度为dE=ε()νdν，该公式可以明确地写为νdE===ενν()dNενdcν3e−c2νβdν(1.1)ννν1这里c、c是两个常系数，β=1/kT。此公式在短波长（高频率）区12间内与实验符合，但在中、低频区，特别是低频区与实验差别很大。Rayleigh-Jeans公式（19

2、00，Rayleigh；1905，Jeans）：将腔中黑体辐射场看成大量电磁波驻波振子集合，利用能量连续分布的经典观念和Maxwell-Boltzmann分布律，导出黑体辐射谱的另一个表达式——。若记ε()ν=Nε，这里N是腔中辐射场单位体积ννν内频率ν附近单位频率间隔内电磁驻波振子数目（自由度数目），它28πν为。下面来简单推算出它：3cikxikx0:→=Leexx==0L22nππkL=→2nπk=→Δk=LLvv于是，在单位体积辐射场中，波数在3kkd→+k内的自由度数目v22ππνω（k===）为λccvvvv2228dk3324⋅πkdkkdkπνν2d8π

3、νν2d====332323⎛⎞2π8πππcc⎜⎟⎝⎠LL=1而ε是频率为ν的驻波振子的平均能量，由M-B分布律得ν∞−εβ∫εedε0ε==kTν∞−εβ∫edε0于是得到Rayleigh-Jeans公式28πνkTdE==ενν()ddν(1.2)ν3c这个与Wien公式的正好相反，它在低频部分与实验曲线符合得很好，1但在高频波段不但不符合，出现黑体辐射能量密度随频率增大趋于无穷大的荒谬结果。这就是著名的所谓“紫外灾难”，是经典物理学最早显露的困难之一。1900年Planck用一种崭新的观念来计算平均能量ε。他引入了ν“能量子”的概念，即，假设黑体辐射空腔中振子的振

4、动能量并不象经典理论所主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化，而是和振子的频率ν成正比并且只能取分立值，0,hν,2hν,3hν,......这里的正比系数h就是后来所称的Planck常数。与此相应，腔中辐射场和温度为T的腔壁物质之间达到热平衡后，交换的能量也是这样一份份的。由此，按经典统计理论的麦-波分布律，与上述能级相对应的比例系数分别为−hνβ−2hνβ−3hνβ1,e,e,e,......将这些系数归一化(除以这些系数的总和)使它们变成为权重系数，就得到对应频率ν的驻波振子的平均能量，∞∑nhννexp[]−nhβ∞εν==n=0−∂ln⎧⎨∑exp[]−nhβ⎫

5、⎬ν∞∂β⎩⎭n=0∑exp[]−nhνβn=0∂νh=−ln1exp{}[]−=hνβhνβ∂βe−1将这个平均能量ε乘以自由度数目，就得到下面Planck公式ν38πhνdνε(ν)dν=(1.3)3hνβce−1显然，(1.3)式在高频和低频波段分别概括了Wien公式和Rayleigh-Jeans公式，体现了关于辐射谱峰值位置的Wien位移定律。总之，此公式在全波段范围内与实验曲线十分符合。这说明，在解释辐射场与腔壁物质相互作用的实验规律中，必须假定腔内电磁场和腔壁物质之间所交换的能量是断续的、一份一份的。即必须假定，对所有频率相应的能量都是量子化的。《光电效应问题

6、》自1887年Hertz起，到1916年Millikan为止，光电效应的实验规律被逐步地揭示出来。其中，无法为经典物理学所理解的实验事实有：反向遏止电压(和逸出电子的最大动能成正比)和入射光强无关；反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系；电子逸出相对于光的照射而言几乎无时间延迟。它们难于理解是因为，按经典观念，入射光的电磁场使金属表面电子2作强迫振动。入射光强度越大，强迫振动的振幅也就越大，逸出电子的动能也就越大。于是，反向遏止电压和入射光强度应当是正比关系，而且和入射光的频率无关。此外，自光照射时起，电子从受迫振动中积聚能量直至逸出金属表面，这需要一段时间，因为电子运动区

7、域的横断面积很小，接受到的光能很有限，电子积聚到能逸出金属表面那样的动能需要一定的时间。然而，实验却表明，这个弛豫时间很短，它不大于−910秒。为了解决这些矛盾，1905年，Einstein在Planck的能量子概念基础上，再大胆地前进一步，提出了光量子概念，并指出光量子和电子碰撞并被电子吸收从而导致电子的逸出。他的光电效应方程是12hmν=+Φv(1.4)0max2这里Φ是实验中所用金属的脱出功，比如，对Cs为1.9eV，对Pt0为6.3eV。等式右边用了逸出电子的最大速度，那是因为有些电子在从金属表面逸出的过程（以及在空气