张永德教授量子力学讲义 第三章.pdf

《张永德教授量子力学讲义 第三章.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§第三章一维问题求解Schro&&dinger方程是量子力学的中心任务。本章研究其中较为简单的情况——一维问题。§3.1一维定态的一些特例1,一维方势阱问题，Landau与Pauli的矛盾《无限深方势阱》这是本章第一个例题，也是最简单的对一类物理问题的数学近似模型。但有关它的动量波函数及其衍生问题却引起过争论，甚至导致严重误解：“量子力学的数学是错的”。研究一维Schro&&dinger方程，其中位势为⎧⎪0,x

2、现在分为三个区域：第I区x≤−a，第II区x

3、定，这种提法是含混的。参见下面有关讨论。1这种用法见泡利《物理学讲义》第五卷，详见下面讨论v的脚注。42显然，在第II区x

4、n=,()n=1,2,3,L(3.2a)28ma⎧1⎡nπ()⎤⎪sin⎢x+a⎥,x

5、升的尺度为~Δx，波函数有显著变化的尺度为~λ==，kn4a则可认作阶跃变化的条件为Δx<<λ=。因此，对n很大的高激发态情n43况，势函数将难以被模型化为无限深方阱。另外，更不应当由这种人为的近似模型导出哈密顿量不厄密等等损及量子力学理论体系的结论。ii,当n=2m+1奇数时，波函数为对称的1()2m+1πxψ2m+1()x=cosa2a当n=2m为偶数时，波函数为反对称的1mπxψ2m()x=sinaam（这里已略去无关紧要的波函数整体相因子()−1）。各个能级上波函数的节点（零点，不计两个端点±a）个

6、数为：基态（n=1）无节点，第一激发态（n=2）有一个节点等等。而且可以看出，阱中各能级的波函数按n−1的奇偶性区分为奇函数和偶函数，也就是说有()()n−1()ψn−x=−1ψnx(3.3)iii,求解结果表明，若用势阱（或势垒）从空间上限制微观粒子的活动，也即将它们内禀波动性——deBroglie波局域化，则由于波自身干涉结果必定导致波频率的分立化（注意，经典物理学中所有波也均如此），但由deBroglie波的特性，频率分立化就意味着能量量子化。即使对基态n=1，粒子的动能也不为零，说明阱中粒子从不静止

7、。这里x=p=0，故Δx~a，Δp~p，代入不确定性关系Δx⋅Δp≥h，2给出hp≥。由此可知，若将一个粒子禁闭在2a宽度的局部区域中，2a相应的动能便有22ph≥22m8ma参考基态能级表达式，再次可知§1.3的排除粒子静止概念是正确的。44另外注意，由于边界条件的存在，总能量（3.2a）虽然也是阱中粒子的动能值，但却不是动能算符的任何本征值。(3.2b)式也不是动能算符的本征函数。其实，阱内任何定态都是各种动量（及动能）本征态的叠加态（见v,），它们由势阱约束着不色散而成为定态（否则将呈自由波包色散，见

8、§3.3）。−iEntiv,将波函数ψ()x用复指数来表示，并近似地配上因子eh，n可得⎧⎡i⎛⎜nπ()x+ah−Et⎞⎟−i⎛⎜nπ()x+ah+Et⎞⎟⎤1h2anh2an⎪⎪⎢e⎝⎠−e⎝⎠⎥,x