线性代数第二章.ppt

《线性代数第二章.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第二章矩阵矩阵是线性代数的主要研究对象.它在线性代讨论线性方程组的解法及有解的条件.概念及其运算.的秩,可逆矩阵以及矩阵的初等变换,分块矩阵的本章介绍矩阵的概念,矩阵的基本运算,矩阵题可以用矩阵表达并用有关理论解决.数与数学的许多分支中都有重要应用,许多实际问最后,利用矩阵的有关概念与方法主要内容矩阵的定义几种常用的特殊矩阵矩阵的应用举例第一节矩阵的概念定义1由mn个数aij(i=1,2,…,m;j=1,叫做一个mn矩阵,这mn个数叫做矩阵的一、矩阵的定义元素,aij叫做矩阵A的第i行第j列元素.2,…,n)排成的m行n列的数表元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩例如

2、３×４矩阵5×2矩阵A＝(aij)mn或A=(aij).阵称为复矩阵．（1）式也可简记为二、几种常用的特殊矩阵(1)行矩阵和列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵(也称为行向量).如A=(a11a12…a1n).如只有一列的矩阵称为列矩阵(也称为列向量).(2)零矩阵若一个矩阵的所有元素都为零，则称这个矩行数和列数相同的矩阵称为方阵．例如(3)方阵引起混淆的情况下，也可记为Ｏ．阵为零矩阵，mn零矩阵记为Ｏmn，在不会A称为nn方阵，常称为n阶方阵或n阶矩阵，主对角线都为零的方阵称为对角矩阵，如主对角线上的元素不全为零，其余的元素全(4)对角矩阵常简记为A=(aij)n.为n阶对角

3、矩阵,其中未标记出的元素全为零,即对角矩阵对角矩阵常记为A=diag(a11,a22,…,ann).例如aij=0,ij,i,j=1,2,…,n,(5)单位矩阵主对角线上的元素全为1的对角矩阵称为单n阶单位矩阵E在矩阵代数中占有很重要的地位,它的作用与“1”在初等代数中的作用相似.如EA=AE=A.位矩阵,简记为E或I.如(6)数量矩阵主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数n阶数量矩阵量矩阵.例如其中c为常数(7)三角矩阵主对角线下(上)方的元素全为零的方阵称为上三角矩阵下三角矩阵上(下)三角矩阵.例如(8)对称矩阵与反对称矩阵在方矩A=(aij)n中,对称矩阵反对称矩阵例如如

4、果aij=－aji(i,j=1,2,…,n),则称A为反对称矩阵.如果aij=aji(i,j=1,2,…,n)则称A为对称矩阵.矩阵A=(aij)m×n与B=(bij)p×q如果满足与当a=3,b=-1,c=4,d=2,e=-5,f=6时,它们相等.则称矩阵A和矩阵B相等,记为A=B.例如aij=bij,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n,B=(bij)m×n,如果对应元素相等,即定义两个同型矩阵A=(aij)m×n与m=p且n=q,则称这两个矩阵为同型矩阵.三、矩阵的应用举例矩阵的加法主要内容数与矩阵相乘矩阵的乘法方阵的幂第二节矩阵的运算矩阵的转置方阵的行列式矩阵矩阵乘积的

5、意义1.定义定义2设A＝(aij)m×n与B＝(bij)m×n是A-B=A+(-B).阵.显然有A+(-A)=O.由此可定义矩阵的差为若记-A=(-aij),则称-A为矩阵A的负矩矩阵A与矩阵B的和，记为A＋B．两个同型矩阵，称m×n矩阵C＝(aij+bij)m×n为一、矩阵的加法2.运算规律设A,B,C为同型矩阵,则(1)A+B=B+A(加法交换律);(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法结合律);(3)A+O=O+A=A,(4)A+(-A)=O.其中O是与A同型矩阵;例设(1)问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求其和,哪些不能进行加法运算,说明原因;(2)求C的负矩阵.1

6、.定义定义3设A=(aij)m×n,k是一个数,则为数k与矩阵A的数量乘积,简称数乘,记为kA.称矩阵二、数与矩阵相乘2.运算规律设A,B为同类型矩阵,k,l为常数，则(1)1A=A;(2)k(lA)=(kl)A;(3)k(A+B)=kA+kB;(4)(k+l)A=kA+lA.矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.例设且求矩阵X.三、矩阵的乘法1.引例2.定义定义4设矩阵A=(aij)m×p,B=(bij)p×n,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n则称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积,注意:只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相

7、乘.记作C=AB.cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aipbpjC=(cij)m×n,其中例4已知求AB.例5求矩阵的乘积AB及BA.定义了矩阵的乘法运算后,对于线性方程组若令AX=b.则上述线性方程组可写成如下矩阵形式:AX=b.关于矩阵的乘法运算,需要注意以下几点:(1)矩阵的乘法运算不满足交换律.左乘B”或“B右乘A”.作乘法时,应指明它们相乘的次序.如AB读作“A中AB和BA虽然都有定义,但ABBA.所以,在使AB与BA都有定义,它们也不一定相等.的矩阵A和B,A