线性代数-第二章.ppt

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1、第二章矩阵湖北经济学院线性代数一、考试要求1.理解矩阵的概念，了解三角形矩阵、对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等特殊矩阵的定义及性质。2.掌握矩阵的线性运算，掌握矩阵的乘法及其运算规律，掌握矩阵转置的性质，了解方阵的幂，掌握方阵的行列式的性质及方阵乘积行列式的性质。3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵秩的概念，会用初等变换求逆矩阵和一般矩阵的秩。5.了解

2、分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则，特别要掌握分块矩阵的理论应用。二、基本内容１　矩阵的定义２　方阵　列矩阵　行矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵．３　同型矩阵和相等矩阵４　零矩阵　单位矩阵交换律结合律５　矩阵相加运算规律６　数乘矩阵７　矩阵相乘运算规律n阶方阵的幂８　方阵的运算方阵的行列式运算规律转置矩阵９　一些特殊的矩阵对称矩阵反对称矩阵对角矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵．下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵．伴随矩阵定义１０　逆矩阵相关定理及性质矩

3、阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证．分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．１１　分块矩阵１2初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．反身性传递性对称性13矩阵的等价三种初等变换对应着三种初等矩阵．14初等矩阵由单位矩阵　经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．初等变换和初等矩阵的关系设是一个矩阵,对施行一次初等行变换,相当于在矩阵的左边乘以相应的阶初等矩阵;对施行一次初等列变换,相当于在矩阵的右边乘以相应的阶初等矩阵,即(左边乘)右边乘经过初等

4、行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．例如15行阶梯形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如16矩阵的标准形定义17矩阵的秩定义一、矩阵的运算二、逆矩阵的运算及证明四、矩阵的分块运算典　型　例　题三、有关矩阵A*的运算及证明五、矩阵的秩的求法及证明六、用初等变换法解题一、矩阵的运算例1判

5、断下列命题是否正确:解由此得例2一个重要技巧例3设解:设则（注意其技巧）类似（1）设，求.本题中故类似的有（2000）例4（1989）例5（1991）例6（1999）例7（2003）例8（1992）例9.（2005），，均为3维列向量，记矩阵，如果，那么————提示：答案：2例10设.，其中为三阶可逆矩阵，则=——提示：因为（注意此题技巧）n阶方阵A可逆存在n阶方阵B,使得AB=BA=EA可表示为一些初等矩阵的乘积1.n阶方阵A可逆的充要条件二、逆矩阵的运算及证明2.关于逆矩阵的公式:(为可逆方阵)3.矩阵求逆的方法:1.当

6、是低阶矩阵时,可以利用伴随矩阵法.2.当的阶数时,一般可采用初等变换法.行初等变换列初等变换注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．3.零元素较多时用分块矩阵求逆.(通常在已知条件为矩阵等式时应用.)(4)求出使AB=E成立的B,B即为(5)公式法例10已知求方法1伴随矩阵法同理求出方法2.用初等行变换(构造矩阵)初等行变换用初等变换求逆矩阵,往往比用伴随矩阵求逆要简单,准确,特别是当阶数较高时.例11已知求分块矩阵求逆同一个

7、矩阵,可以根据其特点,从不同角度分块求逆.例12（1994）设其中求例13（1991）设n阶矩阵A，B满足A+B=AB（1）证明：A-E为可逆矩阵，其中E为n阶单位矩阵（2）已知求矩阵A.提示：AB-A-B+E=E，（A-E）（B-E）=E例14（1999）已知AB-B=A，其中注意此处技巧：类似1（2005）设，，均为阶矩阵，为阶单位矩阵，若,则为（）提示：先解出，及故注意此处技巧：L类似2.（2003）设，均为三阶矩阵，是三阶单位矩阵.已知，则_____解：例15（1992）、、、均为阶可逆矩阵，则等于（）提示：答案：例

8、16设是阶可逆矩阵，如果中每行元素之和都是3，那么每行元素之和都是———提示：设，那么;.答案：例17，均为阶矩阵，且，则下列命题可能错误的是（）提示：由得，A与BAB那么且，均可逆.答案:它们的乘积可以交换例18设阶矩阵，，满足关系式则必有（）提示：有关系式，是的逆矩阵，它们的乘积可以交