函数、极限、连续(一).ppt

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1、(一)函数极限连续【本章的主要内容】1、函数的定义，基本初等函数，2、数列极限与函数极限的定义，复合函数与初等函数的概念；极限的运算法则；3、无穷小与无穷大的概念；4、两个重要极限；区间上连续函数的性质。5、函数的点连续与区间连续的概念函数的极限无穷小无穷大有倒数关系（当时，）【函数极限如下表】点连续数列的极限【函数的概念】一、函数的定义设有两个变量和,若在它的变确定的值与之化范围内每取一个确定的值,按照某种唯一对应法则都有则称变量是变量的函数.对应，记作：二、函数的定义域常用原则1、分式函数的分

2、母不能为零。2、偶次根号下的量非负，即要求3、对数符号内的数量为正，即要求求定义域的步骤:1、要使函数有意义,须且准则说明2、解不等式3、结论解:要使函数有意义,须且例1已知：求：它的定义域D解得：即函数的定义域为：练习题求下列函数的定义域：解:1.要使函数有意义,须且解得：的定义域的定义域3.要使函数有意义,须且解得：三、复合函数定义若是的函数，是的函数，若的值域与的定义域的交集非空，则通过中间变量成为的函数，称为的复合函数。记作其中为中间变量。(二)、复合函数的分解方法：由左向右，每一步都是简

3、单函数即把一个初等函数分解成一串中间变量连接的函数串，因变量对中间变量，中间变量对自变量都是基本初等函数或其四则运算。例2将下列函数分解为较简单的函数解:练习将下列函数分解为较简单的函数【无穷小量与无穷大量】一、无穷小量的概念定义若函数在自变量的某个变量。化过程中以零为极限，则称为在该变化过程中的无穷小量。简称无穷小常以等表示。都是无穷小量如1、当时，2、当时，二、无穷小量的性质1、有限个无穷小量的代数和是无穷小量。2、有限个无穷小量的积是无穷小量3、任一常数与无穷小量之积是无穷小量。4、无穷小量

4、与有界量之积是无穷小量。注意：上述性质中“有限个”不能丢掉。三、无穷小量的阶定义设是在自变量的同一变化过)的无穷小量，即中(设为1、若则称是高阶的无穷小量,常记作如是比高阶的无穷小量2、若是则称高阶的无穷小量3、若(C为不为零的常数)，则称与是同阶无穷小量4、若则称与是等价无穷小量,记作四、常见等价无穷小量时，当！技巧时，当公式仍成立代换时，五、无穷大量的概念定义在自变量的某个变化过程中，函数的绝对值无限增大，则称为在该变化过程中的无穷大量。简称无穷大量。记作六、两者之间的关系在自变量的某一变化过

5、程中，若为无穷大量，则为无穷小量；反之，若为无穷小量，且为无穷大量则【常用求极限的方法】1、初等函数在定义区间内求极限:方法：例3求下列极限解:2、或型方法：一般用洛比塔法则1、常函数2、幂函数3、指数函数求导公式:4、对数函数5、反三角函数6、三角函数例2求下列极限解:注意：1、洛比塔法则可连续使用。时，即若当还是型未定式，且满足即定理中的条件，则继续使洛比塔法则且可以依次类推，直到求出极限或不能应用这个定理为止。2、对式子及时化简(消去因子，三角函数积化和差等)，并利用已知极限结果，这样可简化

6、运算过程。3、若时，不存在(振荡无极限)，不能说明不存在，洛比塔法则失效，应使用其它方法求极限例4解：不存在另解：计算下列极限练习解：3、利用无穷大量与无穷小量的性质及关系:使用范围：(1)、分母分子=常数方法：求函数的倒数的极限如：解：(2)、无穷小量乘以有界量的极限方法：无穷小量乘以有界量的极限=0说明：若时,则是有界量例5求解：由无穷小量的性质知(3)、分母分子=常数方法：分子.分母除以分母的最大量例6求解：练习解：由无穷小量的性质知4、对有理函数,当时,用的高次方项(分母的最大量)去除分子

7、，分母.方法：例7求解：练习：解：5、分子或分母有理化使用范围：且为型的无理式的无理函数方法：分子或分母有理化例8求解：练习求下列极限解：6、利用等价无穷小代换注意：利用等价代换时,只能因子的代换,而不能作加、减的代换例9求解：1、当时,2、当时,3、当时,4、当时,练习求下列极限解：解法二：当时，