沪科版《圆》第二节垂径定理PPT.ppt

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1、九年级数学(下)第24章圆24.2圆的对称性(2)-----垂径定理裕安中学九（15）班想一想1.圆是轴对称图形吗？你是用什么方法解决这个问题的?圆是轴对称图形.其对称轴是任意一条过圆心的直线.如果是,它的对称轴是什么?用折叠的方法即可解决这个问题.你能找到多少条对称轴?●O想一想●O2.圆是中心对称图形吗？你又是用什么方法解决这个问题的?圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心.如果是,它的对称中心是什么?用旋转的方法即可解决这个问题.AB••观察猜想.•O•CDE┐••••操作：CD是圆0的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，将圆0沿CD对折，比

2、较图中的线段和弧，你有什么发现？猜想：AE=BE,AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.证明：已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且CD⊥AB于M，求证：AM=BM，AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.错总结：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所

3、对的两条弧。平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧直径（或过圆心的直线）垂直于弦判断题：(1)过圆心的直线平分弦(2)垂直于弦的直线平分弦(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE•oABCDE(1)•oABCDE(2)O•ABE(3)题设结论错对BAODCE垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理：CD是直径CD⊥ABAE＝BE⌒⌒AC＝BC⌒⌒AD＝BD几何语言表达：文字语言表达：图形语言表达：例1、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径•oABE└解：连结OA，作OE⊥AB于E，则OE

4、=3cm,AE=BE∵AB=8cm∴AE=4cm在Rt中有OA===5cm∴⊙O的半径为5cm这里圆心O到弦ＡＢ的距离叫做弦心距1.在⊙O中，若CD⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（）练一练2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD=.3.在⊙O中，CD⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是.●OCDABM└CA、AC=ADB、BC=BDC、AM=OMD、CM=DM⌒⌒⌒⌒813注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法．构造半径、半弦、弦心距组成直角三角形，结合勾股定理解题。

5、变式：如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm,BE=5cm,∠DEB=60°，求弦CD的长。例２1４00多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).例题解析RD7.237.4赵州石拱桥赵州石拱桥解：由题设得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=

6、BD•o•oABCD┐E证明：过O作OE⊥AB于E，解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。练一练则AE=BE,CE=DE∴AE－CE=BE－DE即AC=BDE小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。E.ACDBO.ABO思考题：如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●OC

7、DEF┗课堂小结1、本节课主要学习了(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及推论.2、有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线.圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题.3、垂径定理的证明，是通过“实验——观察——猜想——证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想。谢谢！