异面直线的夹角专题(教师版).doc

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1、异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．方法一：抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是？解：连B1G，则A1E∥B1G，知∠B1GF就是异面直线A1E与GF所成的角．在△B

2、1GF中，由余弦定理，得cosB1GF＝＝0，故∠B1GF＝90°练习1.1：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小．练习1.2：长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=2cm，AA1=4cm，求异面直线BD1与AD所成的角的余弦值？方法二：抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2：设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射

3、影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小为多少？解：取AE中点G,连结GM、BG∵GM∥ED，BN∥ED，GM＝ED，BN＝ED．∴GM∥BN，且GM＝BN．∴BNMG为平行四边形，∴MN//BG∵A的射影为B．∴AB⊥面BCDE．∴∠BEA＝∠BAE＝45°，又∵G为中点，∴BG⊥AE．即MN⊥AE．∴MN与AE所成角的大小等于90度．练习2.1：S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，BMANCS且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN则QN∥SM∴∠QNB是S

4、M与BN所成的角或其补角连结BQ，设SC＝a，在△BQN中BN＝NQ＝SM＝aBQ＝∴COS∠QNB＝练习2.2：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，ACBNMA1C1B1若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角的余弦值．解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，易证∠GNA就是BM与AN所成的角．设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝，GN＝B1M＝，cos∠GNA＝.练习2.3：如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点．求与所成的角。证明：取AB中点G，连结A1G，FG，因为F是CD的中点，所以GF∥AD，

5、又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。方法三：平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例3：如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值为多少？解：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小，在Rt△PDB中，即.练习3.1：正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝S

6、B＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．练习3.2：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，PD=3（1）求PB与平面ABCD所成角的大小；（2）求异面直线PC与BD的夹角大小．作业：一、选择题1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）（A）不平行的直线（B）不相交的直线（C）相交直线或平行直线（D）既不相交又不平行直线2．已知EF是异面直线a、b的共垂线，直线l∥EF，则l与a、b交点的个数为（）（A）0（B）1（C）0或1（D）0，1或23．两条异面直线的距离是（）（A）和两条异面直线都垂直相交的直线（B）和两条异面直线都垂直的直线

7、（C）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长（D）两条直线上任意两点间的距离4．设a,b,c是空间的三条直线，下面给出三个命题：①如果a,b是异面直线，b,c是异面直线，则a,c是异面直线；②如果a,b相交，b,c也相交，则a,c相交；③如果a,b共面，b,c也共面，则a,c共面．上述命题中，真命题的个数是（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个ABCSEF5．异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为（）（A）[30°，90°]（B）