《现代控制理论》课后习题答案4

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1、《现代控制理论》第4章习题解答4.1古典控制理论中的系统稳定性与李雅普诺夫意义下的稳定性有什么区别？答：（1）古典控制理论中的稳定指的是指输入输出稳定性，与系统状态无关；而李雅普诺夫意义下的稳定性是指系统的内部稳定性，反映了系统状态在偏离平衡状态后，是否仍能保持在平衡状态附近、甚至回到平衡状态的系统能力。（2）对于古典控制理论中的稳定性是利用系统的传递函数定义的，因此必须要假定系统的初始条件为零。对象是线性时不变单输入单输出系统，采用的方法是判断系统的极点位置等，仅适用于系统稳定性分析。（3）李雅普诺夫意义稳定性理论适合于线性和非线性系统，时变和时不变系统，多变量系统；通过分析系统能量

2、的变化来判断系统的稳定性；方法不仅适合于分析，而且更重要的是可用于控制系统的设计。4.2请说出李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定的区别和联系，并说明它们的几何意义。答：李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定的区别在于：（1）李雅普诺夫意义下稳定指的是当系统初始状态在平衡状态的一个小范围内时，其之后的状态也一定在平衡状态附近。（2）渐近稳定性首先要求是稳定的，而且随着时间的推移，系统的状态回复到平衡状态。（3）大范围渐近稳定不再要求初始状态在平衡状态附近，而可以是任意的。因此，对任意初始状态出发的轨线都逼近于平衡状态，当然，系统的平衡状态也是惟一的。李雅普诺夫意义下稳

3、定、渐近稳定、大范围渐近稳定的联系是：大范围渐近稳定⇒渐近稳定⇒李雅普诺夫意义下稳定。它们的几何意义可以从下图中看出。李雅普诺夫意义下稳定指的是，当时间无限增加时，从球域S()δ内出发的状态轨线不会超出球域S()ε；李雅普诺夫意义下的渐近稳定指的是，当时间无限增加时，从球域S()δ内出发的状态轨线不仅不会超出球域S()ε，而且最终收敛到原点；大范围渐近稳定指的是，当S()δ为整个状态空间时，系统的状态都会随着时间的推移趋向于原点。x2x2S()δS()δS()εS()ε(,)x00t(,)x00txx11x()tx()t李雅普诺夫意义下稳定渐近稳定4.3李雅普诺夫稳定性的定义是什么？它

4、适用于哪些系统？答：考虑系统x"=fxt(,)的平衡状态x=0，如果对任意给定的ε>0，存在一个δ>0(与eε和初始时刻t有关)，使得从球域S()δ内任一初始状态出发的状态轨线始终都保持在球域0S()ε内，则平衡状态x=0称为是李雅普诺夫意义下稳定的。进一步，如果平衡状态x=0ee是李雅普诺夫意义下稳定的，并且当t→∞时，始于原点邻域中的轨线xt()→0，则平衡状态x=0称为在李雅普诺夫意义下是渐近稳定的。e它既适用于线性系统，也适用于非线性系统，既适用于时变系统，也适用于时不变系统，既适用于连续系统，也适用于离散系统。4.4怎样判别二次型函数的正定、负定、半正定、半负定？答：二次型函

5、数的一般表达式为：nnVx()=∑∑pxxijijij==11⎡p11pp12?1n⎤⎡⎤x1⎢⎥⎢⎥ppp?x==xPxxxT[]?x⎢12222n⎥⎢⎥212n⎢@@B@@⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ppp?x⎣12nnnnn⎦⎣⎦可以通过判断对称矩阵P的定号性来确定二次型函数的定号性。记Δ=(1in,2,,?)为矩阵P的各阶顺序主子式：i⎛⎞⎡pp?p⎤11121n⎜⎟⎢⎥⎛⎞⎡⎤pppp?pΔ=p，Δ=det⎜⎟⎢1112⎥，?，Δ=det⎜⎟⎢12222n⎥i112n⎜⎟⎢⎥pp@@B@⎝⎠⎣⎦1222⎜⎟⎢⎥⎜⎟pp?p⎝⎠⎣12nnnn⎦则：（1）矩阵P正定的充分必要条件是所有的顺子主

6、子式都是正的，即Δ>0，i(1in=,2,,)?；⎧>0i为偶数（2）矩阵P负定的充分必要条件是Δ⎨；i⎩<0i为奇数⎧≥=01in,2,?,−1（3）矩阵P半正定的充分必要条件是Δ⎨；i⎩==0in⎧≥0i为偶数⎪（4）矩阵P半负定的充分必要条件是Δ≤⎨0i为奇数。i⎪⎩==0in4.5试确定下列二次型是否为正定的。222（1）Vxx()=+++4xx2xx−6xx−2xx；123122313222（2）Vx()=−x−10x−4x+6xx+2xx；1231232222（3）Vx()10=+++−−x4xx2xx2xx4xx123123213222答：（1）V()xxxxx=+++4

7、2xx−6xx−2x123122313二次型Vx()可写成⎡⎤111−⎡x⎤1T⎢⎥⎢⎥Vx()=xPx=−[]xxx143x123⎢⎥⎢2⎥⎢⎥⎣⎦−−131⎢⎣x⎥⎦3由于矩阵P的三个顺序主子式分别是⎛−⎡⎤111⎞⎛⎞⎡⎤11⎜⎟⎢⎥Δ=>10，Δ=>det⎜⎟⎢⎥0，Δ=−det143<0123⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦14⎜⎟⎢⎥−−131⎝⎠⎣⎦根据塞尔维斯特准则，Vx()不是正定的。222（2）Vx()=−−x10x−4x+6xx+2xx1