函数概念与表示(教师用).doc

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1、函数概念与表示一．要点精讲1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)

2、x∈A}叫做函数的值域。注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。2．构成函数的三要素：定

3、义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解读式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数

4、转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示。5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A

5、中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”。函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。6．常用的函数表示法（1）解读法：就是把两个变量的函数关系，用一

6、个等式来表示，这个等式叫做函数的解读表达式，简称解读式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；-8-/8（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。7．分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解读式不同，这种函数又称分段函数；8．复合函数若y=f(u)，u=g(x),xÎ(a，b)，uÎ(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。二．典例解读题型1：函数概念例1．（1）设函数（2）设函数f（x）＝，则满足f（x）=的x值为。解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需

7、要反复进行数值代换，==（2）当x∈（－∞，1，值域应为［，＋∞］，当x∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞），∴y＝，y∈（0，＋∞）∴此时x∈（1，＋∞）∴log81x＝，x＝81＝3。点评：讨论了函数的解读式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代换、换元等等），这都是函数学习的常用基本功。变式题：设（）A．0　B．1C．2D．3解：选项为C。例2．（1）函数对于任意实数满足条件，若则__________；（2）函数对于任意实数满足条件，若则__________。-8-/8解：（1）由得，所以，则。（2）由得，所以，则。点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到

8、函数解读式，考察学生的逻辑思维能力。题型二：判断两个函数是否相同例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。解：（1）由于f（x）==

9、x

10、，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x

11、）==x，g（x）=（）