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1、第18课时等腰三角形第四单元 三角形考点一 等腰三角形图18-11.[2018·湖州]如图18-1,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是()A.20°B.35°C.40°D.70°[答案]B[解析]∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,∴∠ACD=70°.∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=35°.故选B.2.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长为.10知识梳理等腰三角形定义有相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫腰,第三边叫底边性质轴对称性:一般等腰三角形是轴对称图形,有
2、条对称轴等腰三角形的两个底角相等(简称为)等腰三角形的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合,简称为判定如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形(简称为)两边1等边对等角顶角三线合一等角对等边考点二 等边三角形B图18-22.[2018·福建A卷]如图18-3,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于()A.15°B.30°C.45°D.60°图18-3[答案]A[解析]∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵AD⊥BC,∴BD=CD,AD是BC的垂直平分线,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB=45°,∴
3、∠ACE=60°-45°=15°.知识梳理等边三角形定义边都相等的三角形叫做等边三角形性质等边三角形是轴对称图形,有条对称轴等边三角形的内角都,且等于判定个角都相等的三角形是等边三角形有一个角等于60°的三角形是等边三角形面积三3相等60°三等腰考点三 角平分线的性质与判定1.[2019·潍坊]如图18-4,已知∠AOB,按照以下步骤作图:①以点O为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交∠AOB的两边于C,D两点,连结CD.②分别以点C,D为圆心,以大于线段OC的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点E,连结CE,DE.③连结OE交CD于点M.下列结论中错误的是()A.∠CEO=∠DEOB.C
4、M=MDC.∠OCD=∠ECDC图18-42.[2019·湖州]如图18-5,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.42图18-5[答案]B知识梳理相等1.性质:角平分线上的点到这个角两边的距离.2.判定:角的内部到角两边距离相等的点在这个角的上.平分线考点四 线段垂直平分线的性质与判定1.如图18-6所示,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,则下列结论不一定成立的是()A.AB=ADB.CA平分∠BCDC.AB=BDD.△BEC≌△DEC图18-6C2.[2019·南
5、充]如图18-7,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为()A.8B.11C.16D.17图18-7B知识梳理相等1.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离.2.判定:到线段两端的距离相等的点在这条线段的上.垂直平分线考向一 等腰三角形的性质与判定例1[2017·连云港]如图18-8,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连结BE,CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.图18-8解:(1)∠ABE=∠ACD
6、.理由如下:因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,所以△ABE≌△ACD,所以∠ABE=∠ACD.例1[2017·连云港]如图18-8,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连结BE,CD交于点F.(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.图18-8解:(2)证明:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.【方法点析】(1)等腰三角形的性质揭示了三角形中边与角的转化关系,由两边相
7、等转化为两角相等是证明两角相等的常用方法;(2)等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据.
8、考向精练
9、1.[2018·温州鹿城区模拟]如图18-9,在△ABC中,AB=AC,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,交AC于点E.(1)求证:DE=CE;(2)若∠CDE=35°,求∠A的度数.图18-9解:(1)证明:∵CD是∠ACB的平分线,∴∠BCD=∠ECD.∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BC
