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1、多边形的平面密铺问题浅析•小学数学论文•教育期刊网多边形的平面密铺问题浅析江苏邳州市官湖镇镇西小学(221300)雷新明多边形的平面密铺是新课标小学数学中的一项重要内容,这部分内容对于培养学生的思维能力、动手操作能力及审美观念均具有重要意义。但密铺问题不同于传统数学,具有较强的开放性和探索性,因而教与学双方均感到有较大的难度。现就多边形的平面密铺的常见问题作一浅析。所谓平面密铺，就是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌。日常生活中最常见的密铺图形是多边形。利用
2、多边形进行平面密铺可分两步进行：第一步，在一点处密铺；在一点处能够密铺的条件是:拼接在同一点处的各个多边形的内角和为360。且相邻的多边形有公共边;第二步，由点及面。将一点处已经密铺的几个图形看成一个组合图形,若这一组合图形的任一顶点及引岀的边均可以在组合图形中找到某一图形与之衔接贝」由一点处的密铺可以绵延成平面密铺,否则,只能实现一点处密铺而不能实现平面密铺。一、任意多边形的密铺多种任意多边形组合的密铺无规律可循，不做探讨。对同种多边形来说，若能在一点处密铺，则一定也能绵延成平面密铺。同种多边形在一点处密铺的条件是此多边形内角和是360。或是360
3、啲约数。显然符合这一条件的只有三角形和四边形，即全等的任意三角形及全等的任意四边形都可以密铺(图1L若任意多边形的内角和是360。的倍数,只有特殊情形可能密铺，无规律可言，不做探讨。二、正多边形的密铺使用正多边形进行密铺，可以只用一种正多边形，也可用多种正多边形组合，不论如何，使用的正多边形必须等边长，且使用多种正多边形组合密铺,最多只能用三种（例如，使用四种,则内角和最少为60。+90。+108。+120。=378。，不符合要求‘1.只使用同一种正多边形密铺由于密铺于一点的正多边形内角度数与使用正多边形的个数密切相关。所以以使用枚举法讨论密铺于一点
4、的正多边形内角度数及多边形的个数。因为正“边形的内角为心"（）•（心3）,内角最小值为60。（正三角形），故密n单调谨増H.极限为1X0。,故正多边形的内角铺于一点便用的正多边形个数最多为6。由于数列（n-2）-18O0小于180。但町无限接近180。,故密铺于一点的正多边形的个数大于2,即最小值为3。这样•密铺于一点的正多边形的个数』能是3.4.5.6.相应的正多边形内角为120。,90。.72。,60。，而内角为72。的正多边形不存在°所以,便用同一种正多边形能实现一点处密铺的为正三角形、正方、正六二形.相应的使用正多边形的个数为6.4.3.亡匸
5、対辺为（3,3,3,3,3,3）,（4,444）,（666）。这三种情况都』以由-点处密铺绵延成平面密铺O2.使用两种正多边形（等边长）密铺仍用枚举法分析。由于密铺歹点的正三角形需要6个z故两种正多边形密铺于一点,最多需要5个图形。所以，使用两种正多边形密铺于一点，需要图形的总个数可能为3,4,5。(1)总数需要3个图形3个图形分为两种类型,两类比为1:2。由分析知,三个图形中边数最少的只能是3或4或5。用枚举法分析:若3个图形中边数最少为3(三角形)z则只可能有一个三角形，另两个为同一种，其内角为(360°-60°)^2=150°,故另两个为正12
6、边形，这样得到的一组图形简记为(3,12,12);类似方法可得(4,8,8),(5,5,10),共3组。这三组图形中,(3,12,12)?□(4z8,8)可以绵延成平面密铺，而(5,5,10)只能在一点处密铺不能绵延成平面密铺(如图2所示,三个图形在A点密铺，但在B点，三个图形中找不到哪一个可以在此拼接X(1)总数需要4个图形4个图形分为两类，有1：3和2:2两种可能。用枚举法可得1:3为不可能,2:2的情形只有一组图形(3,3,6,6),且能绵延成平面密铺。(2)总数需要5个图形5个图形分为两种类型，有1:4和2:3两种可能。用枚举法可知1:4的情
7、形下有(3,3,3,3,6),213的情形下有(3,3,3,4,4),且都能由一点处的密铺绵延成平面密铺。1.使用三种正多边形(等边长)密铺由于使用三种正多边形且密铺于一点的所有图形内角和为360°，经分析可知,三种图形中必有正三角形或正方形且需要图形的总数只能为3或4。(1)总数需要3个图形若3个图形中有一个是正三角形.设另两个分别是正血・血边形S&33),则有.5「2上！80。+5「2)・1紗Hi»2300°,化简得丄•此不定方程的正整数解为"日/ijHi6ni=42/ii=8np9n>=24'■02=18"产?。这样，得到能在一点处密铺的图形n
8、2=15组合为(3,7,42),(3,8,24),(3,9,18),(3,10,15)。吋以验证，这四组图形
