《极限四则运算》PPT课件.pptx

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1、第二章　微积分的理论基础第四讲极限四则运算极限的四则运算法则设则，推论1常数可以提到极限号前，limcf(x)=climf(x).推论2若limf(x)=A，且m为正整数，lim[f(x)]m=[limf(x)]m=Am.特殊地，有则即解运用定理及其推论可得:例1一般地，有因此即多项式函数在x0处的极限等于该函数在x0处的函数值.解由例1知道当x1时所给函数的分子和分母的极限都存在，且分母极限例2所以例2求解提问如下写法是否正确？解由于例3即因此，由无穷小量与无穷大量的关系可知，当x1时为无穷大量，解例4有时，所给函数在自变量的某个趋向下分子、分母的极限

2、都为零，这时不能直接应用商的极限运算法则.例5若an0，bm0，m、n为正整数，试证有一类函数，当自变量趋于无穷大时，其分子、分母都趋于无穷大.这类极限称为　　　型的极限，对于它们也不能直接应用商的运算法则.证当x→时，所给函数的分子分母都趋向于无穷大.若将原式变形为解由于括号内两项的极限都是无穷大，因此人们常称为“-”型极限，不能直接应用定理.一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的求极限的方法.例6两个重要极限1.第一个重要极限g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)=limh(x)=A，limf(x)=A.定理1若对于xN(,)或

3、x

4、>M(M

5、>0)时，有则OxRABC证AOB面积<扇形AOB面积<AOC面积,即例因为所以再次运用定理即可得≤≤这个结果可以作为公式使用解例7计算解例8这个结果可以作为公式使用解令5x=u，当x→0时u→0，因此有例9也可以按如下格式进行：例10解我们还可以证明，都有极限，且人们记这个极限为数e，于是有2.第二个重要极限数e是一个无理数，它的近似值可由展开式中取前若干项计算，以e为底的指数函数y=ex的反函数y=logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为y=lnx.它的前八位数是e=2.7182818解因为所以，有例11例12解方法一令u=-x，因为x

6、0时u0，所以方法二掌握熟练后可不设新变量例13解则当x0时，ue，所以原式=1，即例14解令u=ex-1，则x=ln(1+u)，当x0时u0.所以例15解因为所以令u=x-3，当x时u，因此例16解无穷小量及其运算若函数a=a(x)在x的某种趋向下以零为极限，则称函数a=a(x)为x的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小.例如，函数a(x)=x-x0，当x→x0时，a(x)→0，所以a(x)=x-x0是当x→x0时的无穷小量.它是当x→∞时的无穷小量.是当x→+∞时的无穷小量.定理1若函数y=f(x)在x→x0(或x→∞)时的极限为A，则f(x)=A

7、a(x)(简记y=Aa)，定理2有限个无穷小(当x→x0或x→∞时)的代数和仍然是无穷小量.反之若则A为f(x)的极限，定理3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.证设函数f(x)有界.

8、f(x)

9、≤M.又a(x)是无穷小量，即

10、a(x)

11、

12、a(x)f(x)

13、=

14、a(x)

15、

16、f(x)

17、

18、值f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)当时为无穷大(量)。记作．无穷小和无穷大的关系是无穷小是无穷大。作业：P26.1(3),(5)3（2）,（4）,（6）,（8）（其余作为课堂练习）