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《2019_20学年高中数学第4章函数应用4.1.1利用函数性质判定方程解的存在课件北师大版必修.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.1利用函数性质判定方程解的存在一二一、函数的零点1.函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.2.函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解.【做一做1】函数y=x2+2x-8的零点为()A.(-4,0),(2,0)B.-4,2C.-4D.2解析:根据零点的定义,令y=x2+2x-8=0.解得x1=-4,x2=2.所以零点为-4,2.答案:B一二二、函数零点的存在性定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=
2、f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解.【做一做2】函数f(x)=2x-8+log3x的零点一定位于区间()A.(5,6)B.(3,4)C.(2,3)D.(1,2)解析:因为f(3)=6-8+1=-1<0,f(4)=8-8+log34=log34>0,且f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以零点一定位于区间(3,4),故选B.答案:B一二思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)零点就是函数图像与x轴的交点.()(2)二次函数有可能有三个零点.()(3
3、)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,且满足f(a)·f(b)<0,则零点不一定只有一个,也可能有多个.()(4)若函数f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,且在区间(a,b)内至少有一个零点,但不一定有f(a)·f(b)<0.()(5)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像不是连续曲线,则当f(a)·f(b)<0时,f(x)在区间(a,b)内一定有零点.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×探究一探究二探究三规范答题求函数的零点【例1】求下列函数的零点:(1)f(x)=x2+3x-4;(
4、2)f(x)=-4x;(3)f(x)=1+log3x.分析:函数解析式均已给出,可用代数法求函数的零点.解:(1)令f(x)=x2+3x-4=0,得x=-4或x=1,所以函数零点为-4和1.探究一探究二探究三规范答题求函数零点的方法通常有两种:(1)代数法,求f(x)的零点,就是解方程f(x)=0,方程的实数根就是函数的零点.其中解分式方程、根式方程、对数方程时要注意验根,保证方程有意义,避免增解;(2)几何法,求f(x)的零点,就是求f(x)的图像与x轴交点的横坐标.探究一探究二探究三规范答题变式训练1(1)函数f(x)=x2-2x
5、+a有两个不同的零点,则实数a的取值范围是.(2)求函数f(x)=4x-16的零点.(1)解析:由题意可知,方程x2-2x+a=0有两个不同的解,故Δ=4-4a>0,即a<1.答案:(-∞,1)(2)解:令4x-16=0,得4x=42,解得x=2,所以函数的零点为x=2.探究一探究二探究三规范答题函数零点个数的判断【例2】判断下列函数零点的个数:(1)f(x)=(x2-4)log2x;(2)f(x)=x2-;(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.解:(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=
6、0,解得x=±2或x=1.又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,故函数有2和1两个零点.探究一探究二探究三规范答题探究一探究二探究三规范答题(3)(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg3-2=2+lg3>0,∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.又显然f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个实根,即f(x)只有一个零点.(方法二)在同一坐标系中作出函数h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的图像如图所示.由图像知g(x)=lg(x+1)
7、和h(x)=2-2x有且只有一个交点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.探究一探究二探究三规范答题判断函数零点个数的三种方法(1)利用方程的根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出y=f(x)的图像,判断它与x轴交点的个数,从而判断零点的个数.(3)转化为两个函数图像交点问题.例如,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点个数就是方程f(x)=g(x)的实数根的个数,也就是函数y=f(x)的图像与y=g(x)的图像交点的个数.探究一探究二探究三规范答题探究一探究二探究三规范答题答案:(1)C(2)
8、1探究一探究二探究三规范答题函数零点性质的应用【例3】设函数f(x)=ax+3a+1(a≠0)在-2≤x≤2上存在一个零点,求实数a的取值范围.分析:函数f(x)为关于x的一次函数,当它穿过零点时,函数值变号.解:∵f(
