数值分析讲稿4.pdf

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1、2012/10/18第三章函数逼近与计算函数逼近:求一个简单的函数y=Px(),比如,低次多项式,不要求y=Px()通过已知的这n＋1个§1引言与预备知识点,而是要求在整体上“尽量好”地逼近原函数.•1.问题的提出此时,在每个已知点上就会有误差fx()-Px(),kk用插值的方法对函数进行近似,要求所得函数逼近就是从整体上使这些误差尽量的小一些.到的插值多项式经过已知的n＋1个插值节点.然而,n比较大时,插值多项式往往是高次•2.数学描述的,容易出现振荡现象（龙格现象）;“对函数类A中给定的函数fx(),要求在另

2、一类较虽然在插值节点上没有误差,但在插值节简单的便于计算的函数类B中,求函数Px()ÎBÌA点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插使Px()与fx()之差在某种度量意义下最小.”值逼近效果将变得“很差”.于是,我们采用函数逼近的方法。函数类A通常是区间上的连续函数；函数类B通常是代数多项式，分式有理函数或三角多项式.Cab[,]:区间[,]ab上的所有实连续函数构成的空间.fÎCab[,]的¥-范数定义为:f=maxfx()¥axb££它满足范数的三个性质：1)f³0，fº0当且仅当f=0；2)a×f=a×f

3、对任意fÎCab[,]及任意aΡ成立；3）f+g£f+g对任意fg,ÎCab[,]成立.一致逼近(均匀逼近):在•3.维尔斯特拉斯定理f-P=maxfx()-Px().用Pxn()一致逼近fx(),首先要解决存在性问题.¥axb££度量下的函数逼近；维尔斯特拉斯(Weierstrass)给出了下面定理：定理1设fx()ÎCab[,],则对任何e>0,总存在平方逼近(均方逼近):在一个代数多项式Px()，使得b2f-P2=ò[()fx-Px()]dxaf-P

4、代数多在[,]ab上一致成立。项式Pxn()逼近fx()ÎCab[,].证明：略。（伯恩斯坦构造性证明）12012/10/18假定函数的定义区间是[0,1],可通过线性代换:§2最佳一致逼近多项式t=(baxa-)+把xÎ[0,1]映射到tÎ[,]ab.2-1最佳一致逼近多项式的存在性伯恩斯坦多项式:给定fÎC[0,1]切比雪夫(Chebyshev):固定n，考虑H,即所nnkBfx(,)=åfæöç÷Px()有次数不超过n的多项式的集合,显然HnÌCab[,],nnknnk=0èø同时,Hn=span{1,,x

5、L,x},1,,xL,x是[,]ab上一æönn组线性无关的函数组，是Hn中的一组基。于是,knk-其中,Pxk()=ç÷x(1-x)，且åPxk()1=.并证Hèøkk=0n中的元素Pxn()可表示为明了limBfxn(,)=fx().n®¥n这不但证明了定理1，而且给出了fx()的一个逼近Pxn()=a0+ax1+L+axn多项式Bfxn(,).多项式Bfxn(,)有良好的逼近性质，a,a,L,a其中01n为任意实数.但它收敛太慢，比三次样条逼近效果差得多，实*要在Hn中求Pxn()逼近fx()ÎCab[,]

6、,使其误差际中很少被使用.为了说明这一概念，先给出以下定义。f-P*=minmaxfx()-Px()定义1.Pxn()ÎHn,fx()ÎCab[,]，称nn¥PnÎHnaxb££D(,fP)=f-P=maxfx()-Px()nn¥naxb££称之为最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题为fx()与Pxn()在[,]ab上的偏差.显然D(,fPn)³0,D(,fPn)的全体组成一个集合，记为{(,DfPn)},它有下界0.若记集合的下确界为E=inf{(,DfP)}=infmaxfx()-Px(),nnnPnÎHnPnÎH

7、naxb££则称之为fx()在[,]ab上的最小偏差.定义2.假定fx()ÎCab[,]，若存在2-2切比雪夫定理**Px()ÎH,D(,fP)=E,偏差nnnn定义3.设fx()ÎCab[,],Px()ÎHn,若在x=x0上有*则称Pxn()是fx()在[,]ab上的最佳一致逼近多项Px()-fx()=maxPx()-fx()=m,则称x是Px()000axb££式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式.的偏差点.注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存若Px()0-fx()0=m,称x0为“正”偏差点.但是可

8、以证得下面的存在性定理.若Px()0-fx()0=-m,称x0为“负”偏差点.*定理2.若fx()ÎCab[,],则总存在Pxn()ÎHn,使*f-P=E.n¥n由于函数Px()-fx()在[,]ab上连续，故,至证明略.少存在一个点x0Î[,]ab，使Px()-fx()=m.0022012/10/18也就是,说Px()的偏差点总是存在的。下面讨论定理3.若Px()ÎHn