鲁棒优化用于应急物流.pdf

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1、2.2鲁棒优化理论鲁棒优化是不确定优化研究中的一个新的研究主题，它源自鲁棒控制，应用领域非常广泛。鲁棒优化作为一个含有不确定输入优化问题的建模方法，是随机规划和灵敏度分析的补充替换，其目的是寻求一个对于不确定输入的所有实现都能有良好性能的解。该方法不同于随机规划，其对于不确定参数没有分布假定（每个可能的值都同等重要），当它面向最坏情况时，代表一个最保守的结果。鲁棒优化理论与其它不确定优化问题的处理方法不同的是，它更加适用于以下情况：（1）不确定优化问题的参数需要估计，但是有估计风险。（2）优化模型中不确定参数的实现都要满足约束函数。（3）目标函数或者

2、优化解对于优化模型的参数扰动非常敏感。（4）决策者不能承担小概率事件发生后所带来的巨大风险。为了建立不确定优化问题的鲁棒优化模型，首先要对实际问题从优化的角度进行深入的分析，确定问题的优化目标、决策变量、变量维数，且找到各变量间的关系以确定问题的约束条件。同时，对问题中的变量判定其是否具有不确定性是不确定优化问题分析中所特有的，如有不确定参数，要给出其变化范围。这样，在确定优化问题的目标函数、约束条件、决策变量及不确定参数的数学表达后，综合起来即为问题的鲁棒优化模型。2.2.1Soyster鲁棒模型[78]20世纪70年代，Soyster首先提出线性

3、规划鲁棒优化方法。Soyster考虑名义线性规划问题：Tmaxcxs..tAxb(2.28)lxu假设不确定数据只出现在矩阵A中，而目标函数系数c是确定的。这种假设不失一般性，因为上述问题等价于：maxtTst..cxt(2.29)Axblxu假设A是一个mn的矩阵，令J是系数矩阵A第i行所有不确定数据a的iij列下标j所组成的集合，每个a，jJ可以看作一个对称而有界的随机变量aij，iji其取值区间为[,]aaaaijij，其中a为名义值。a，jJ具体变化轨迹和ijijijiji趋势未知，并且不同数据变化之间相互独

4、立。若令()aaaijij/ij，则是ijij取值为[1,1]的对称分布随机变量。于是对于约束axbijji而言，x成为其可j行解的充分条件为：aij取所有可能值的情况下axbijji都被满足，即下面条j件成立：axbijjiaij[,]aaaaijijijij(2.30)j由此可得问题(2.28)的鲁棒对应模型为：Tmaxcxst..axijjjaxijbi,ijjJilxuTmaxcx(2.31)st..axijjjaxijbi,ijjJiyxyj,jj

5、jlxuy0如果x*是(2.31)的最优解，则有yx*，于是ax**axbi,，jijjijjijjJi对于不确定参数集合aij的任何实现值，如果解都保持可行，那么这个模型就是“鲁棒”的，即有axij**jiaxjjijaxij***jiaxjjaxijjbii,，这jjjjjJi*样对第i个约束，axijj通过保持axijj和bi之间的间隙而给予约束“必要jJij的”保护。由于Soyster方法保证了不确定参数的在其取值范围内的任何实现都要满足约束条件，它的保护度最高。这样对于极大化问

6、题，目标函数值显得过小。而对于极小化问题，目标函数显得过大，保守性太强。于是，Ben-Tal&Nemirovski针对Soyster鲁棒模型的缺点提出新的鲁棒模型。2.2.2Ben-Tal&Nemirovski鲁棒模型[79]与Soyster模型不同，Ben-Tal&Nemirovski考虑到aij可用[1,1]上的对称分布随机变量表示，并且计算对称分布随机变量的期望和方差不需要知道其ijTT2T概率分布函数，通过计算可知Eax[],[]iiaxDaxijsqrtaxij。Ben-TaljJiTTT等用Eax[]

7、iiDax[]代替axi，提出了针对问题（2.3）的新的鲁棒模型：Tmaxcx22st..axijjayijijiazijijbi,ijjJiijJyxzyijjijij(2.32)lxuy0其中0为反映模型保守程度的参数简称保守度（Conservativeness），由决策者事先给定。可以看到(2.32)是一个二次锥规划，比Soyster模型要复杂，但Ben-Tal&Nemirovski鲁棒模型可以通过调整的值，改变模型的保守度即原问题(2.28)的抗干扰性。在模型的数据不确定性为U的情况下，第i

8、条约束不2被满足的最大概率为exp(/2)。模型(2.32)的保守性比模型(2.31)要轻，因为i(2.