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1、第13讲 椭圆、双曲线、抛物线总纲目录考点一 圆锥曲线的定义及标准方程考点二圆锥曲线的几何性质考点三直线与圆锥曲线的相关问题考点一 圆锥曲线的定义及标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:
2、PF1
3、+
4、PF2
5、=2a(2a>
6、F1F2
7、);(2)双曲线:
8、
9、PF1
10、-
11、PF2
12、
13、=2a(2a<
14、F1F2
15、);(3)抛物线:
16、PF
17、=
18、PM
19、,点F不在直线l上,PM⊥l于M.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆的标准方程为+=1,其中a>b>0;(2)双曲线的标准方程为-=1,其中a>0,b>0;(3)抛物线的标准方程为x2=±2py,y2=±2px,其中p>0.例(1)(2018天津,7,
20、5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1(2)(2017课标全国Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则
21、FN
22、=.答案(1)C (2)6解析(1)不妨设A在B的上方,则A,B.其中的一条渐近线为bx-ay=0,则d1+d2===2b=6,∴b=3.又由e==2,a2+b2=c2知a2+b2=4a2
23、,∴a=.∴双曲线的方程为-=1.故选C.(2)如图,过M、N分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M1、N1,设抛物线的准线与x轴的交点为F1,则
24、NN1
25、=
26、OF1
27、=2,
28、FF1
29、=4.因为M为FN的中点,所以
30、MM1
31、=3,由抛物线的定义知
32、FM
33、=
34、MM1
35、=3,从而
36、FN
37、=2
38、FM
39、=6.方法归纳圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”.(1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.(2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设为
40、mx2+ny2=1(m>0,n>0),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn>0).1.已知双曲线的虚轴长为4,离心率e=,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且
41、AB
42、是
43、AF2
44、与
45、BF2
46、的等差中项,则
47、AB
48、等于( )A.8B.4C.2D.8答案A 由题意可知2b=4,e===,于是a=2.∵2
49、AB
50、=
51、AF2
52、+
53、BF2
54、,∴
55、AB
56、+
57、AF1
58、+
59、BF1
60、=
61、AF2
62、+
63、BF2
64、,得
65、AB
66、=
67、AF2
68、-
69、AF1
70、+
71、BF2
72、-
73、BF1
74、=4a=8.2.(2018湖北八校联考)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为O的
75、左焦点,P为C上一点,满足
76、OP
77、=
78、OF
79、且
80、PF
81、=6,则椭圆C的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1答案C 由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',由
82、OP
83、=
84、OF
85、=
86、OF'
87、知∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF'.在Rt△PFF'中,由勾股定理,得
88、PF'
89、===8,由椭圆的定义,得
90、PF
91、+
92、PF'
93、=2a=6+8=14,从而a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,∴椭圆C的方程为+=1,故选C.考点二 圆锥曲线的几何性质1.椭圆、双
94、曲线中,a,b,c之间的关系(1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e==;(2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e==.2.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.例(1)(2018课标全国Ⅱ,5,5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x(2)(2018重庆六校联考)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程是( )A.x2=16yB.x2=8y
95、C.x2=yD.x2=y答案(1)A (2)A解析(1)双曲线-=1的渐近线方程为bx±ay=0.∵e===,∴a2+b2=3a2,∴b=a(a>0,b>0).∴渐近线方程为ax±ay=0,即y=±x.故选A.=2,解得p=8,所以抛物线C2的方程是x2=16y.(2)因为双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以=2,即=4,所以=3.因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线的渐近线
