2018-2019学年北师大版选修2-2---1.2-函数的极值--课件(30张).pptx

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1、1.2函数的极值第1课时函数的极值1.结合函数的图像,了解可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件.2.理解函数极值的概念,理解函数的极值与导数的关系,会求函数的极值,并能确定是极大值还是极小值.3.增强学生数形结合的思维意识,提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.1.函数的极值的有关概念(1)在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值.在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)

2、在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值.极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.说明1.极值是一个局部性的概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小,即反映的是函数值在某一点附近的大小情况.2.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.3.函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上的极大值或极小值可以不止一个.4.如果函数f(x)在[a,b]上

3、有极值的话,那么它的极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点.同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.5.极大值与极小值之间并无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值,如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).(2)如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是增加的,在区间(x0,b)上是减少的,那么x0是极大值点,f(x0)是极大值.如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是减少的,在区间(x0,b)上是增加的,那么x0是极小值点,f(x0)是极小值.【做一做1】函数y

4、=2-x2-x3的极值情况是()A.有极大值,没有极小值B.有极小值,没有极大值C.既无极大值也无极小值D.既有极大值又有极小值答案:D2.求函数极值点的步骤(1)求出导数f'(x);(2)解方程f'(x)=0;(3)对于方程f'(x)=0的每一个解x0,分析f'(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性),确定极值点;①若f'(x)在x0两侧的符号“左正右负”,则x0为极大值点;②若f'(x)在x0两侧的符号“左负右正”,则x0为极小值点;③若f'(x)在x0两侧的符号相同,则x0不是极值点.说明导数值为0的点不一定是函

5、数的极值点.例如,对于函数f(x)=x3,我们有f'(x)=3x2.显然f'(0)=0,但无论x>0,还是x<0,恒有f'(x)>0,所以x=0不是函数f(x)=x3的极值点.一般地,“函数y=f(x)在一点处的导数存在,且导数值为0”是“函数y=f(x)在这点处取得极值”的必要不充分条件.A.2B.2,-1C.-1D.-3解析:f'(x)=-x2+x+2,令f'(x)=0,即-x2+x+2=0,解得x1=-1,x2=2.当x<-1或x>2时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上是减少的;当-1

6、'(x)>0,f(x)在(-1,2)上是增加的.故x=-1是函数的极小值点.答案:C题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思1.极大值不一定比极小值大,这是因为极值是相对某一区间而言的;2.借助函数的性质(如奇偶性、单调性、极值、周期等)研究函数图像是重要手段.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三【例2】已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1.(1)试求常数a,b,c的值;(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.题型一题型二题型

7、三题型一题型二题型三题型一题型二题型三(2)x=-1是极大值点,x=1是极小值点.理由如下:当x<-1或x>1时,f'(x)>0,当-1

8、出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件.题型一题型二题型三【变式训练2】已知函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2,若x=-2和x=1为f(x)的极值点.(1)求a和b的值;(2)讨论f(x)的单调性.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型