多读一些著名定理.pdf

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1、本文由SCIbird排版整理多读一些著名定理SCIbird说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。笔者习惯将本科以及本科以下阶段称为少年阶段，这个阶段的学习和梦想其实是最大胆的，谁不曾没有梦想将来去证明一些大定理。不过随着学习的深入，大多数人风格上逐渐趋于谨慎和保守，最终守在一小块土地上精耕细作。这是一种务实的态度，某种程度上也有些无奈。所以，趁着同学少年，意气风发时，多读一些著名定理就十分必要了。搞数学有时候也需要一种疯狂的执着精神，就像黑客一样。当然，多数著名定理的证明需要引入一些高深的数学

2、工具，特别是现代数学中那些大定理，即便是准确表述也是很困难的（涉及概念也较多）。不过，有些著名定理（如素数定理和不动点定理等）经过后人的不断努力挖掘，避免了引进比较高深的数学工具，已经可以写进本科教材了。注意，这里并非强调一定要用高中数学来证明的著名定理，那不现实。笔者为什么推崇《数学分析新讲》一书，除了教材本身写的平易近人之外，还有一个吸引笔者的地方，那就是《新讲》收录进很多著名定理，如：1.万有引力定理与开普勒三定律；2.代数基本定理；3.布劳威尔不动点定理；4.斯通-魏尔斯特拉斯定理；5.处处连续处处不可导函数；6.填满正方形的连续曲线；7.等周问题。等等。按《新讲》作者张老

3、师的说法：“花费这么多时间和精力学习微积分，学完之后究竟能做哪些事情？好像除了求极值、求面积体积之外，就什么也不会了。笔者写这套书，就是想或多或少地改变一下这种状况。”当年对张老师的这些话，有点感觉，但不深刻。随着水平的不断提高，对这老师的这句话感悟越来越深。笔者高一时就已经知道了牛顿-莱布尼茨公式本文由SCIbird排版整理b∫f()xdxFbFa=−()()a并且当时能熟练计算一些涉及多项式和三角函数的简单积分（太复杂的形式就算不出来了）。当时以自己能计算一些复杂曲边梯形面积和旋转体体积（别人不会）而自傲，顺便也能解决一下简单的变力做功问题。一直到大一，笔者一直以为微积分只能干

4、这些活儿。大二时看到了两本书《数学分析新讲》和《数理方程与特殊函数》，这两本书涉及了许多较大定理，涉及很多数学工具综合应用，使笔者意识到原来微积分的威力不仅仅在于求极值、面积和体积啊，真是井底之蛙！这是自高一自学微积分以来，认识上的第二次飞跃。上面提到的牛莱公式是可以推广到Lebesgue积分上的，若f()x是L可积的，且除去有限个例外点之外有Fxfx′()=()，则牛莱公式仍然成立。特别地，学过实变函数的读者还知道，存在一个“康托三分集函数”，除去一个不可数的零测集之外有Fxfx′()=()，但牛莱公式不成立，这是一个经典反例。但是，恐怕很多人不了解下面这个最强牛莱定理：设Fa(

5、]xb),∈C[是连续函数，f()xa∈L[,]b是Lebesgue可积的，若至多除去一个可数集之外，有Fxfx′()=()，则b∫f()xdxFbFa=−()()a如果说Riemann积分中的牛莱公式相对平淡无味的话，那么上面的这个定理就是笔者所言的著名定理了。实际上，“至多除去一个可数集之外，有Fxfx′()=()”这个条件满足时，此时Fx()是绝对连续的。细心读者也能发现，上面的定理可以反推出康托三分集函数反例中的零测集是不可数集。定理也暗示着我们，同样是零测集，但可数集和不可数零测集之间是有深刻差别的。多看著名定理，你一般有这样的感觉：定理的证明往往涉及到很多数学工具的组合

6、和应用，其中更包含许多创造性的想法。这一点从一般教材上是学不到的，因为教材通常出于逻辑考虑，基本上是一章一个内容，例子和习题大多是针对该章节内容的，跨章节的组合题很少。稍不注意就变成了只见树木，不见森林了。比如很多人感到中值定理题中的辅助函数很难想，其实如果联想的常微分方程中的一些方法，很多辅助函数的构造还是很自然的。本文由SCIbird排版整理数学中泛泛而谈总是收获不多的，特别是本科阶段，最好不要养成这种习惯。可能SCIbird最近在论坛上发了一些文章似乎就是泛泛而谈，确实如此，不过当年是新人的时候还是扎扎实实地推导过的，甚至动手进行排版打印。网上流传着一些SCIbird做的北大

7、研究生考试数学分析试题解答（06、08、09和11）就是证据，这些解答大部分都是有详细推导的。现在来看，有的分析解答写得也不甚完美，个别地方还是有些小错误的，所以读者必须亲手推导一遍才行。最后，既然现身说法，那笔者就要示范一下，选取的例子是数学大师柯尔莫哥洛夫的少年成名之作-----L[0,2]π中几乎处处无界发散的Fourier级数反例。证明细节选自汪林等编著的《实分析中的反例》一书，陈建功的《三角级数论》下册也收录进这个反例。证明之前先说几句。证明本身没有用到什么