浅谈一次函数中“数”与“形”的完美结合.pdf

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1、浅谈一次函数中“数”与“形”的完美结合◆李明树（江苏省苏州工业园区东沙湖学校）著名数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”。几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握。因此，数形结合思想是数学中重要的思想方法。所谓数形结合，就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。初中数学一次

2、函数数形结合在初中数学教学中，数形结合思想在一次函数的教学中有着广泛的运用，学生通过解决“一元一次方程ｋｘ＋ｂ＝０（ａ≠０）的根与一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象同ｘ轴交点的关系”“一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（的图象分布情况与一元一次不等式ｋｘ＋ｂ﹥０（或ｋｘ＋ｂ﹤０，或ｋｘ＋ｂ≠０等）解集的关系”“两个一次函数在有交点的情况下比较两个函数值的大小关系”等诸如其实，对一次函数的图像及其性质的梳理，就是对一次数学数与形之此类的问题，逐渐体会用数形结合的思想来解决数学问题的便捷性，数学间转换的训练。又如，一次函

3、数ｙ＝（６－３ｍ）ｘ＋（２ｎ－４）不经过第三象限，素养急速提高。诚然，教师的引导在这一过程中起着极其重要的作用。求ｍ、ｎ的范围。则可以考虑文字转化成大致图像，然后再转化成不等式组一、充分理解一次函数的图像性质（６－３ｍ）＜０且（２ｎ－４）≥０。通过上述的方式，学生在经过几次训练后就一次函数的教学重点和难点是一次函数图像及其性质，学生只有在对能具有一定的根据关系式或图形来构建数学问题的能力。一次函数图像及其性质有充分理解的前提下才能根据关系式或图形来构二、寻找准确的解题切入点建数学模型，实现数与形的结合。在

4、教学中注重培养学生的文字语言和图由于深刻理解了一次函数图像及其性质和数形结合思想内涵，数形结形语言的互相转换训练是必不可少的环节，以加强学生对一次函数图像及合思想可以得到成功运用。根据实际条件寻找准确的解题切入点，是建立其性质理解。起数与形之间关系的纽带。如求不等式－２ｘ＋４﹥０的解集时，就可以选文字语言：择以一次函数ｙ＝－２ｘ＋４的图象作为解题的切入点，做出ｙ＝－２ｘ＋４的正比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的性质，正比例函数ｙ＝ｋｘ的图象必经过函数图像，通过观察图像，图像中ｘ轴上方图像所对应的ｘ的所有值都是不

5、原点；等式－２ｘ＋４﹥０的解集。（１）当ｋ＞０时，图象经过第一、三象限，ｙ随ｘ的增大而增大；三、正确进行数形之间的转换（２）当ｋ＜０时，图象经过第二、四象限，ｙ随ｘ的增大而减小运用数形结合思想解题的目的在于化繁为简，变难为易。因此，教师图像语言：在教学中应指导学生正确进行数形之间的转换，找到解题的正确途径。例１如，已知点Ａ（－１，ｙ１），点Ｂ（２，ｙ２）在一次函数ｙ＝－ｘ＋３的图像上，试２比较ｙ１与ｙ２的大小。此题的解法有二：一是通过“数”的方法，直接代入计算出相对应的ｙ１与ｙ２的值进行比较大小；第二种解

6、法是“形”法，画出一次函数的大致图像，根据函数图形的性质，可以直观的比较ｙ１与ｙ２的大小。再如，有关一次函数中图形的面积问题利用数形结合思想是最为巧妙的方文字语言：法，充分体现了“数”与“形”的完美结合。例：求直线ｙ＝２ｘ＋３、ｙ＝－２ｘ－１一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ，ｂ为常数，ｋ≠０）的性质：及ｙ轴围成的△ＡＢＣ的面积。解决这道题目的关键是利用代数方法求出（１）ｋ的正负决定直线的倾斜方向；交点Ｃ的坐标，再求出点Ａ和点Ｂ的坐标，从而很容易解答此题，而本题最①ｋ＞０时，ｙ的值随ｘ值的增大而增大；根本的是画出函

7、数的图像，准确的找到需要研究的几何图形是解题的首要②ｋ﹤０时，ｙ的值随ｘ值的增大而减小。任务，这样，经过上述数与形之间的正确转换，求解过程变得简单。（２）｜ｋ｜大小决定直线的倾斜程度，即｜ｋ｜越大，直线与ｘ轴相交的锐角总之，数形结合思想渗透整个一次函数的教学之中，其具体事例举不度数越大，｜ｋ｜越小，直线与ｘ轴相交的锐角度数越小；如直线ｙ＝ｘ＋１可以胜举。教师应在日常的教学过程中通过引导学生准确理解一次函数的图看作是正比例函数ｙ＝ｘ向上平移一个单位得到的。像性质、找准解题的突破口和正确进行数形之间的转换，让

8、学生逐步掌握（３）ｂ的正、负决定直线与ｙ轴交点的位置；和运用数形结合的思想，实现学生数学素养的提高。①当ｂ＞０时，直线与ｙ轴交于正半轴上；②当ｂ＜０时，直线与ｙ轴交于负半轴上；参考文献：③当ｂ＝０时，直线经过原点，是正比例函数。［１］马波．新世纪高等学校教材．中学数学解题研究．图像语言：740浅谈一次函数中“数”与“形”的完美结合作者：李明树作者单位：江苏省苏州工业园区东沙湖学校刊名：中国校外教育（上旬刊）英文刊名：China