两个非线性可积方程的相似约化-论文.pdf

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1、第44卷第3期内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)V01．44No．32015年5月JournalofInnerMongoliaNormalUniversity(NaturalScienceEdition)May2015两个非线性可积方程的相似约化那仁满都拉，钟鸣华，斯仁道尔吉(内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特010022)摘要：利用c—K直接约化方法，构造了两个非线性可积方程的相似约化方程和它们的相似解．关键词：非线性方程；相似约化方程；相似解中图分类号：0175．2文献标志码：A文章编号：1001-8735(2015)03—0281—04O引言1989年，Clarkson等Ⅲ提

2、出了微分方程相似约化的直接方法(C-K直接约化方法)，该方法能够给出古典Lie群方法所得不到的新的相似约化，同时不用复杂的群论分析就可以给出相似解．C—K直接约化方法不但可以推广应用到高维的情形，而且能够给出更多的相似约化，因而被广泛应用于寻找Boussinesq方程、组合KDV方程引、具有阻尼项的非线性波动方程引、ModifiedBoussinesq方程Ⅲ、Symmetric—Regularised—Long—Wave方程引、ModifiedBenjamin—Bona—Mahoney方程、Sharama—Tasso—Olver方程，以及源于Fermi—Pasta—Ulam问题的非线性发展方

3、程等众多非线性偏微分方程的新的相似约化．本文利用C—K直接约化方法，研究文献[8]提出的两个非线性可积方程“f—M++一。一0，(1)“一“++一。一0(2)的相似约化方程和相似解．为了讨论方便，把方程(1)和方程(2)分别称为SI—I方程和SI—II方程．设方程(1)和方程(2)的解的形式为u(x，f)一a(，)+fl(x，t)W(Z(x，))，(3)其中a，，W，Z分别为所示变元的待定函数，并且依照如下规则来确定这些待定函数．规则1若a(x，f)取形式a==：a。(z，)+p(x，)n(z)，则选取一0(作代换w—w—n)．规则2若(z，￡)取形式卢一po(Lz，t)12(Z)，则选取1

4、2(Z)三1(作代换W一)．规则3若12(Z)关于z的任意函数且可逆，Z(x，)由12(Z)一Z0(z，￡)确定，则选取12(Z)一z(作代换Z—(Z))．1SI-I方程的相似约化在≠0的假设下，将(3)代入方程(1)，整理后得82Zw+zww+a8z~w"+(Bp8z+82ZxZ)2+(28~z4-郎zZ4-pZWW4-(BZ一盆z+2口Z+a8z+口Z)W一卢。W。+(f1．fl一3a卢)w。+(一+a+a8+卢一3a8)w+口一a+aa+口一口。一0，(4)收稿日期：2014—10—26基金项目：国家自然科学基金资助项目(10461006，11261037)；内蒙古师范大学“十百千”人

5、才培养工程资助项目(RCPY-2—2012一K一034)作者简介：那仁满都拉(1989一)，男，内蒙古通辽市人，内蒙古师范大学硕士研究生通信作者：斯仁道尔吉(1954一)，男(蒙古族)，内蒙古正蓝旗人，内蒙古师范大学教授，主要从事孤立子与可积系统理论研究，E—mail：siren@imnu．edu．an．·282·内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)第44卷由此得Z一。Zr。(Z)，(5．1)口Z一。Zr2(Z)，(5．2)2p8Z+母zZZ一母2P(Z，(5．3)z~2．z+Z+8母nZ一82ZF(Z，(5．4)8Zt一8Z+2aBZ+Z+Ⅸ8Z一821-"5(Z，(5．5)。：==I1(

6、Z)，(5．6)0母一3Q82一母2Z3xC(Z，(5．7)&一B+a+a母+8—3a2—82Z1-"8(Z)，(5．8)口f一口+口口+Ot—Ct。===z3xr9(Z)，(5．9)由此可得SI—I方程的相似约化方程为+r(Z)W+r2(Z)+1"3(Z)(W)2+n(Z)WW+(Z)W一(Z)W。+r7(Z)W+r8(Z)W+P9(Z)一0，(6)其中I'i(Z)(一1，2，⋯，9)为关于Z的待定函数．对(5．6)式使用规则2，得口一Z，(Z)一1．(7)将一代入(5．1)式，得+÷I11(z)===0(8)厶o将(8)式关于z积分两次，得／11(Z)：==x0(f)+d(￡)，(9)其

7、中和为关于变量t的待定函数．对(9)式使用规则3，得Z(x，)一(t)x+仃()．(10)由(7)式和(10)式可得卢一Z：一0。()，一3ZZ．口一0．(11)将(11)式代人(5．7)式，再用规则1得a一0，r7(Z)一0．(12)将(11)式和(12)式代人(5．1)一(5．4)，(5．9)式，得rl(Z)一(Z)：：=n(Z)一(Z)一rg(Z)一0．(13)再将(11)式和(12)式代入(5．5)式