高中数学 常见递推数列通项的求法素材 新人教A版必修5.doc

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1、常见递推数列通项的求法类型1、型解题思路：利用累差迭加法，将，=，…，=,各式相加，正负抵消，即得.例1、在数列{}中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则，……，逐项相加得：.故.例2．在数列中，且，求通项.解：依题意得，，，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若非常数，而是关于的一个解析式，可以肯定数列不是等差数列，将递推式中的分别用代入得个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。例3、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为9，进而求出，即得

2、数列的通项公式。练习：1、已知满足，求的通项公式。2、已知的首项，（）求通项公式。3、已知中，，，求。类型2．型解题思路：利用累乘法,将各式相乘得，，即得.例4．在数列中，，，求通项.解：由条件等式得，，得.【评注】此题亦可构造特殊的数列，由得，，则数列是以为首项，以1为公比的等比数列，得.例5、设数列{}是首项为1的正项数列，且则它的通项公式是=▁▁▁（2000年高考15题）.解：原递推式可化为：=0∵＞0，则……，逐项相乘得：，即=.练习：1、已知：，（）求数列的通项。92、已知中，且求数列通项公式。类型3、型解题思路：利用待定系数法，将化为的形式，从而构造新数列是以为首项，以为公比的

3、等比数列.例6．数列满足，求.解：设，即对照原递推式，便有故由得，即，得新数列是以为首项，以2为公比的等比数列。（n=1,2,3…），，即通项【评注】本题求解的关键是把递推式中的常数“”作适当的分离，配凑成等比数列的结构，从而构造出一个新的等比数列。练习：1、已知满足，求通项公式。2、已知中，，（）求。分析：构造辅助数列，，则[同类变式]1、已知数列满足，且，求通项分析：（待定系数），构造数列使其为等比数列，即，解得求得2、已知：，时，，求的通项公式。解：设9∴解得：∴∴是以3为首项，为公比的等比数列∴∴3、已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关

4、键是把递推关系式转化为，进而求出+…+，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。类型4．型9例7已知数列的前项和满足（1）写出数列的前3项；（2）求数列的通项公式.解：（1）由，得.由,得,由,得(2)当时,有,即①令,则,与①比较得,是以为首项,以2为公比的等比数列.,故引申题目：1、已知中，，（）求2、在数列{}中，求通项公式。解：原递推式可化为：①比较系数得=-4，①式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2.∴即.3、已知数列满足，，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。9评注：本题解题

5、的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式4、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式5、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式6、已知数列满足，求数列的通项公式。解：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，得⑤由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。类型5、取倒数例8、已知数列{}中，其中，且当n≥2时，，求通项公式。解：将两边取倒数得：，这说明

6、9是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.例9、数列中，且，，求数列的通项公式.[提示]例10、，求解：即则例11、数列中，，，求的通项。解：∴设∴∴∴……     9∴∴练习：1、在数列中，求．类型6、取对数法例12若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁解由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比设∴∴∴……     ∴∴练习：1、在数列中，求．类型6、取对数法9例12若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁解由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比数列，数列，9