例说转化思想在解题中的应用-论文.pdf

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1、第9朝高中数学教与学。短文集锦0例说转化思想在触题【l】硇应用雷亚庆(江苏省南京市大厂高级中学，210044)很多同学在解题中碰到相对陌生的问题6>o，且=2a-b一=，会感到束手无措，不知如何下手，实际上只要我们静下心来，认真理解题意，你就会发现很多感·．．原式=÷(2a--b+)到棘手和陌生的问题都可以通过适当的方法转化成熟悉的易解的问题．以下举几例说明．=÷【4一(一争+·争)]例l已知，y为正数，则+≤‘}(4—2_)=÷，的最大值为⋯⋯一·分析给出的分式比较复杂，通过换元．．所求最大值为詈

2、一．简化了分母，问题可转化为常规的基本不等式求最值问题．例2对于￡(0，詈)，不等式+解令2+)，=a，+2y：：b，贝U8>0，’··=xln仕L1，e』Jl翠调递王冒，0≤I1,≤e，Y=(1，+)一L单调递增，‘+(2—1)“+‘2一￡图象的对称轴“=L．．当≥1时，，()≥F(1)>0，抛①当，n∈(0，1)时，有=，似l+(1一m)x2物线，=I=f：口向上．>1+(1一m)xl：I，‘①当“=L≤0=m1+(1一m)x2<／／／,．'If2+(1一m)2=2，，即≥}时．y1i=yI：。

3、得E(l，2)．同理p∈(l，：)，．．．由)的单：=￡：_一t：调性知：0

4、(．)一F(2)l⋯一丢与题设不符．③当m》1时，同理可Ot≤，，(3)()．：g()+)：=ln+÷，令iFt)一(卢)i≥lF()一声’(x2)I，与题设不符．F()=一一≥0，得》1所以)在区间·．．综合①、②、③，得r凡e(0，J)．·43·高中数学教与学2014釜≥9恒成立，则正实数p的取值范围为的横坐标的取值范围．即解不等式+等≤1，该不等式的解集为解令sin=n，COS=6，则+b：1．一争≤≤争)．于是，问题转化为：已知正数o，b满足o+b=例6一个四面体的所有棱长都为，，四1，+譬

5、≥9，求P的最小值．个顶点在同一球面上，求球的表面积．·1=口+b≥2~／r口-6-·ab≤一1．．．，．’+．．詈≥2√=4．依题意，4>19，得p≥．C图1·．．P的取值范围是[，+∞)．解正四面体可看作是正方体经过切割例3(1)已知：>Y>0，且满足xy=而得到的，因而构造一个棱长为1的正方体如1，求证：≥2．一图，则四面体P—ABC就是棱长为的正四面解令—Y=t，由已知得t>0，且体，而正方体的外接球就是四面体的外接球，+Y=(一，，)+2xy：t+2．易知正方体对角线长度为／3，从而外接球

6、半由此，问题简化为：径=等故球表面积S球=4"rrR=3竹．厶已知￡>0，求证：≥2．例7(苏教版课本l15页第18题)已知平面内两点A(一4，1)，B(3，一1)，直线Y=kx事实上，=t+÷≥2√·÷=2．+2与线段AB恒有公共点，求实数k的范．综上，命题得证．解由题意点A(一4，1)，B(3，一1)位于例4已知n，b，C为正数，且20十b+=直线kx—Y+2=0两侧或在直线L．则问题转l，求(0+6)(Ⅱ+c)的最大值．化为线性规划问题．分析设Ⅱ+b=，n+c=y，则问题简由线性规划知识，呵知

7、化为：已知正数，Y满足+Y=1，求xy的最(一4k⋯1+2)(3五十J+2)≤0，大值问题．1解得≤一1或k≥÷问题显然非常容易解决．斗1例5解不等式：一6+13+所以实数k的范围是k≤一1或≥÷．叶、而≤8．评注本题通过把直线位置关系中的斜解此题乍一看很复杂，注意到不等式率问题转化为点与直线的位置关系，利用通过左边的结构特点，即可转化为线性规划知识巧妙加以解决，使问题得以简化．+／≤8．美国著名数学家波利说过：“解题就是因为+不断变更题目的过程”，也就是通过把问题变形，使之简化，从而由难到易，由繁

8、到简，使得问≤8表示点P(，y)在椭圆+争≤1及其内题的本质得以暴露．转化思想解题就沐现这一部，所以问题转化为该区域内纵坐标为2的点点，也让我们对数学的简洁美有了更深的认识．·44·