线性约束下异方差回归模型参数的极大似然估计-论文.pdf

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1、第44卷第16期数学的实践与认识Vo1．44，No．162014年8月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHE0RYAug．，2014线性约束下异方差回归模型参数的极大似然估计胡俊航，焦勇z(1．河南质量工程职业学院经济与管理系，河南平顶山，467001)(2．中南大学数学与统计学院，湖南长沙，410075)摘要：运用参数的极大似然估计法，给出在线性约束条件日=C下异方差回归模型参数和A的极大似然估计，并讨论了估计参数的性质和模型的残差．利用得到的结论对线性约束下异方差回归模型的进一步研究和应用具有一定的理论和实际价值．关键词：线性约束；异方差

2、回归模型；极大似然估计异方差回归模型是在经典线性回归模型的基础上，放松对模型中随机干扰项￡t(i=1，2，⋯n)同方差的假定而得到的一种线性回归模型[1-2]．在Ci(i=1，2，⋯，佗)方差已知的条件，下，异方差回归模型参数的估计通常采用广义最小二乘估计(generalizedleastsquareestimate，GLS)[3]，孙凤给出异方差回归模型参数的极大似然估计_4J．马小兵，傅惠民提出一种异方差一一时间序列模型，并给出参数的最小二乘和极大似然估计J．而对约束条件下异方差回归模型的研究文献很少，笔者曾构建了线性约束下的异方差回归模型，得到参数的广

3、义最小二乘估计[6]．本文运用极大似然估计方法[7]．推导线性约束异方差回归模型参数的估计，并讨论估计参数的性质和模型的残差．1模型概述设线性约束下异方差回归模型Is]为Y=X／~托c㈩lE()=0，Var()=∑=diag(}，；，一·，)其中y是rt×1向量，X是n×P的列满秩设计矩阵，是P×1向量，是n×1随机误差向量且N(0，∑)，>0(i=1，2，⋯，n)，H是q×P的列满秩约束矩阵，C为q×1向量，∈{J日=C}为P×1的待估参数向量．线性约束下的异方差回归模型(1)通常应用于横截面数据，因为异方差问题在横截面数据比在时间序列数据中更为常见，且在

4、同一时间点一个观察对象的误差项与另一观察对象的误差项一般不相关．收稿日期：2012—06—04资助项目：国家自然科学基金(11001273)；高等学校博士点基金(20100162120035)118数学的实践与认识44卷2模型参数的极大似然估计由模型的假设N(0，∑)可知【9】：YN(Xfl，∑)，其密度函数Do]为)exp一1(Y-X(Y-xf1)j(2)对(2)两边取对数，加上参数的约束条件，得模型(1)约束条件下的似然函数L()i=一ln2丌一专∑ln2一1(y—x)E-

5、l(y—x)+入(日一)(3)』一i1其中入为q×1行向量．根据极大似然原理，在

6、(3)的两边分别关于和A求偏导数并令其等于0，即OL(，)：X'E一1y—X∑一+H=0(4)88OL(，)一H8一C=0(5)a由(4)得：(x∑一)(x∑一y+日)(6)把(6)代入(5)得天R：[H(XIy]-Ix)一日]一[—u(x∑一)一∑一y](7)把(7)代入(6)得约束条件下的极大似然估计：(∑一)X∑一y+(胞)一日()Ⅳ，rH(X'r-~X)y](8)3估计参数的性质讨论为方便起见，令P：{一(E一)一日，[日(E)一Hl__日)，Q(XEix)一H[H(∑一)]_。、定理1RN(，1p(XE)一P)．证明模型(1)在无约束条件下的极大似

7、然估计很容易求得是：，∑一)X∑一(9)文献[31证明了Ⅳ(，)(10)把(9)代入(8)可得一R：+(x，∑一x)一日，f日(x，∑一x)H，]一日司：I-(X'E-~X)()日r‘(，∑一)一H，[日(∑一x)一日，]_。=P+Q(11)16期胡俊航，等：线性约束下异方差回归模型参数的极大似然估计119是的线性组合，根据多元正态分布的性质，也月艮从正态分布，其均值和方差分别为E()=E{+(脚)日()一日])=E()+(∑一1)一日[n(x∑一)一H]一[C-H·E()]=+(∑一)一H[u(x∑一)一H]一[—H．]=(12)Var()=1，p(X)P

8、(13)故一N(9，JP(∑一1)P)．据此可以作出的区间估计与假设检验．定理2RⅣ(0，(∑一)日，])．证明由(7)知，R是的线性函数，即．R=[n(x∑一)一H]一[C-H(X∑一1)一X∑一y]=[n(x)H，r日翻(14)因为一Ⅳ(，击(∑一1))，所以R也服从正态分布．因为E(R)=[u(x∑一1)一H]一[c—H·()]=[n(x∑一一1H]一[c一日]=0(15)var(R)=var()日，r日]=var[日(∑一1)日，]～一[日(∑一)H]～日=[日()日r日·Var()[n(x)H，r=[n(x口)H，]一(16)4线性约束模型(1)的

9、残差讨论定理3令=，=y一，则Ⅳ(0，∑一~XP(X