正弦定理和余弦定理讲义打印版.doc

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1、正弦定理和余弦定理讲义解三角形的大前提背景：内角和定理：在中，；sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C)．sin＝cos，cos＝sin.考点一：1.正弦定理：，其中R是.2.变形为：(1)a∶b∶c＝；（边化角）a＝_______，b＝_______，c＝_____；（角化边）sinA＝_______，sinB＝______，sinC＝_______注：正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.（情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.大边对大角）3.解三角形时，三

2、角形解的个数的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAb解个数例1.已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答。（1）（2）（3）（4）2.在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边b和c.考点二：余弦定理a2＝__________，b2＝_______，c2＝________.余弦定理可以变形为：cosA＝__________，cosB＝________，cosC＝_________.或者注：1.已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA,求出a，再由正弦定理，求出角B，C.2.已知三边a

3、、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.例.在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，求c.考点三：判断三角形的形状解题思路：一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理（思考：如何判断锐、直、钝三角形；结合三角变换判断等腰，等边等）例1.在△ABC中，bcosA＝cosB，试判断三角形的形状.2.在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是.()3.△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg且B∈，则△ABC的形状是(　　)4.已知在△ABC中，，则△ABC的形状是:=＝(R为外接圆

4、半径)＝(a＋b＋c)·r(r内切圆半径)考点四：三角形的面积问题例1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值.2.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.(1)求角B的大小；若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积.考点五：三角形中的三角变换题型:利用正、余弦定理和三角函数的恒等变换,进行边角互换,结合三角函数的图象与性质进行化简求值.三角变换公式：1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式：2.二倍角的正弦、余弦和正切公式：3.辅助角公式：例1.在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）

5、求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．2.设锐角三角形的内角的对边分别为，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围．３．在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，＝8，∠BAC＝θ，a＝4.(1)求b·c的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin2(＋θ)＋2cos2θ－的值．考点六：综合问题例.(2005年全国高考卷三试题)△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，（Ⅰ）求cotA+cotC的值；（Ⅱ）设，求a＋c的值.考点七：实际应用（一.）测量问题图1ABCD例1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸

6、标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。（二.）遇险问题西北南东ABC30°15°图2例2.某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？北乙甲3.（2007山东高考）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？跟踪训练一、选

7、择题1．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinB·sinC，则A的取值范围是()A．(0，]B．[，π)C．(0，]D．[，π)2.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为(　　)A.B.C.D.3.在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则的值为(　　)A.B.　　　　　C.D.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝