正弦定理和余弦定理讲义.doc

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1、秦源教育高中数学解三角形正弦定理和余弦定理1．正弦定理：________＝________＝________＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝________________；(2)a＝__________，b＝__________，c＝__________；(3)sinA＝________，sinB＝__________，sinC＝________等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________.余弦定理可以变形为：cosA＝_____

2、___________，cosB＝____________，cosC＝__________.3．S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．解三角形时，三角形解的个数的判断在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsi

3、nAbsinAb解的个数一解两解一解一解方法与技巧1．正、余弦定理和三角形面积公式是本节的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题．2．应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．3．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinC·cosA，可以进行化简或证明．4．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换

4、．失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．1．(课本精选题)在△ABC中，若A＝60°，a＝，则＝________.2．(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.3．(课本改编题)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝________.4．△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b的值为________．5．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的

5、面积为4许老师秦源教育高中数学解三角形题型一　利用正弦定理求解三角形1在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.2已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则角A的大小为________．题型二　利用余弦定理求解三角形1在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.(1)求角B的大小；(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．题型三　正、余弦定理的综合应用1(2011·浙江)在△ABC中，角

6、A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝b2.(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围．2在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．4许老师秦源教育高中数学解三角形3在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．课后作业A一、选择题1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则si

7、nAcosA＋cos2B等于(　　)　A．－B.C．－1D．12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是(　　)A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形3．在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则的值为(　　)A.B.C.D.二、填空题4．(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sinA＝，则