弹性力学答案缩印.doc

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1、2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q试证及能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。证明：（1）将应力分量，和分别代入平衡微分方程、相容方程（a）（b）显然（a）、（b）是满足的（2）对于微小的三角板都为正值，斜边上的方向余弦,,将，代入平面问题的应力边界条件的表达式（c）则有所以，。对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。该题为平面应力的情况，首先，将应力分量及代入物理方程，得形变分量

2、，，（d）然后，将（d）的变形分量代入几何方程，得，，（e）前而式的积分得到，（f）其中的和分别是y和x的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f）代入（e）的第三式得等式左边只是y的函数，而等式右边只是x的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有，，积分以后得，代入（f）得位移分量其中为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确的解答。2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力和切应力

3、的表达式，并取挤压应力，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为，横截面对z轴（中性轴)的惯性矩为，根据材料力学公式，弯应力；该截面上的剪力为，剪应力；并取挤压应力（2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程也能满足相容方程再考察边界条件：在的主要边界上，应精确满足应力边界条件：，；，。能满足在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件：满足应力边界条件。在次要边界上，列出三个积分的应力边界条件：满足应力边界条件因此，他们是该问题的

4、解答。3-6如题3-6图所示的墙，高度为h，宽度为b，h»b，在两侧面上受到均布剪力q的作用。试用应力函数求解应力分量。解（1）相容条件：将应力函数代人相容方程中，其中，，很明显满足相容方程。（2）应力分量表达式，，（3）考察边界条件：在主要边界上，各有两个应精确满足的边界条件，即，。在次要边界上，，而的条件不可能精确满足（否则只有A=B=0），可用积分的应力边界条件代替（4）把各应力分量代入边界条件，得，。应力分量为，，3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次式的应力函数求解。解（1）相容条件：设(a

5、)不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。（2）体力分量由应力函数得应力分量的表达式(b)(c)(d)（3)考察边界条件：利用边界条件确定待定系数先考察主要边界上的边界条件：，将应力分量式(b)和式（c）代入，这些边界条件要求，得A=0，B=0。式(b)、（c）、（d）成为（e）（f）（g）根据斜边界的边界条件,它的边界线方程是,在斜面上没有任何面力，即,按照一般的应力边界条件，有将(e)、（f）、（g）代入得（h）（i）由图可见，，代入式（h）、(i)求解C和D,即得，将这些系数代入式(b)、（c）、（d）得应力

6、分量的表达式4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q，如题4-12图所示.试求其应力分量。解（1）应力函数，进行求解由应力函数得应力分量（2）考察边界条件：根据对称性，得（a）（b）（c）（d）由式（a）得（e）由式（b）得（f）由式（c）得（g）由式（d）得（h）式（e）、（f）、（g）、(h)联立求解，得将以上系数代入应力分量，得4一13设有内半径为r,外半径为R的圆筒受内压力q，试求内半径和外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。解本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q的情况下，取应力分量表达式（B=0），内外的

7、应力边界条件要求，，由表达式可见，前两个关于的条件是满足的，而后两个条件要求由上式解得，(a)把A,B,C值代入轴对称应力状态下对应的位移分量，（b）(c)式（c）中的取任何值等式都成立，所以个自由项的系数为零H=I=K=0。所以，轴对称问题的径向位移式（b）为，而圆简是属于平面应变问题，故上式中代替，则有此时内径改变为，外径改变为圆环厚度的改变为4-15在薄板内距边界较远的某一点处，应.力分最为，，如该处有一小圆孔.试求孔边的最大正应力。解求出两个主应力，即原来的间题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如图所

8、示。应力分量，，代入坐标变换式，得到外边界上的边界条件（a）(b)在孔边，边界条件是（c）（d）由边界条件式（a）、（b）、（c）、（d）可见，用办逆解法是，可假设为的某一函数乘以，而为的另一函数乘以。而，因此可假设。（