整数矩阵集上的Fermat方程-论文.pdf

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1、西北大学学报(自然科学版)2014年6月，第44卷第3期，Jun．，2014，Vo1．44，No．3JournalofNorthwestUniversity(NaturalScienceEdition丝整数矩阵集上的Fermat方程赵院娥，车顺(1．延安大学数学与计算机学院，陕西延安716000；2．西北大学数学学院，陕西西安710127)摘要：设A是m阶可逆整数矩阵，又设s(A)={AIk∈Z，k≥0}。设rt是正整数。文中运用矩阵特征值的性质证明了：如果4有特征值适合Io／l>27或者n>18m(10s6m)且A的特征值都不是单位根，则方程“+

2、Y=，，Y，z∈s(A)无解(，Y，)。关键词：整数矩阵；特征值；Fermat方程中图分类号：O156．7文献标识码：A文章编号：1000-274X(2014)03-0360-03FermatSequationinthesetofintegralmatricesZHA0Yuan—e．CHEShun(1．CollegeofMathematicsandComputerScience，YananUniversity，Yanan716000，China；2．SchoolofMathematics，NorthwestUniversity，Xian710127

3、，China)Abstract：LetAbeanonsingularintegralmatrixoforderm，andletS(A)={AIkEZ，≥0}．Letnbeapositiveinteger．Inthispaper，byusingsomepropertiesofeigenvaluesofmatrices，itisprovedthatifeitherAhasaneigenvaluelOL{>2Totn>18m(1og6m)andalleigenvaluesofAarenotrootsofunity，thentheequation+Y=，，

4、Y，Z∈S(A)hasnosolution(，Y，)．Keywords：integralmatrix；eigenvalue；FermatSequation设z，N分别是全体整数和正整数的集合。设性结果。n是正整数。设A是元素都是整数的m阶可逆矩定理1如果A有特征值适合ll>2。，阵，又设S(A)是由A的所有非负整数次方幂构则方程(2)无解(，_y，Z)。成的集合，即定理2如果A的特征值都不是单位根，则S(A)={AIk∈Z，k≥0}。(1)当凡>18m(1e·g6m)时，则方程(2)无解(，Y，长期以来，人们对于S(A)上的Fermat方程Z)。+

5、Y=，，y，z∈S(A)(2)显然，上述的定理1在本质上改进了文献[7]曾有过很多研究，有关这方面的早期结果可参见的结果。文献[1]的第13．9节。近十多年来，文献[2—6]讨论解决了方程(2)在A是二阶矩阵和Fibonacci1若干引理矩阵时的求解问题，对于高阶矩阵A，A．Grytczukl71证明了：如果A有实特征值适合OL>对于m阶矩阵A，多项式_厂(A)=l一A2，则方程(2)无解(，Y，)。本文证明了下列一般称为A的特征多项式，其中，是m阶单位矩阵，收稿日期：2013—11—10基金项目：国家自然科学基金资助项目(11371291)；陕西

6、省教育厅科学研究计划基金资助项目(2013JK0557)；2013年延安大学自然科学专项基金资助项目(YD2013-05)作者简介：赵院娥，女，陕西延安人，从事数论及其应用研究。第3期赵院娥等：整数矩阵集上的Fermat方程·361·XIm—Af表示矩阵XI一A的行列式。此时)fAf必为非零整数。由于从式(8)可知IAf≠±的根称为矩阵A的特征值。1，故必有t>r。因此从式(7)可得引理1如果多项式g(X)可使A“=2I。(9)g(a)=0，(3)设多项式其中D是，n阶零矩阵，则矩阵A的特征值都是g(X)=“一2。(10)g(X)的根。因为从式(9

7、)可知g(A)=0，所以根据引理1证明设g。(X)是适合条件(3)的首项系可知：矩阵A的特征值都是g()的根。从式数等于1且次数最低的多项式。如此的g。()称(10)可知g()的全部根是为矩阵A的最小多项式。根据文献[8]的定理X=2‘，i=0，1，⋯，(t—r)n～1，6．4可知：A的特征值都是g。(X)的根；又从文献(11)[8]的定理5．8可知：如果多项式g()适合式其中是(t—r)凡阶本原单位根。因此，A的特征(3)，则必有g。()lg(X)。因此，A的特征值都值都可表成是g()的根。引理证完。l=2豇，0≤≤(￡一r)n一1。(12)引理

8、2如果d次非零代数数不是单位根，则Ol必有共轭数J8，满足II>1+从式(12)可知A的特征值都满足ll=2而：1／25(