江苏省南京市江宁高级中学2013届高三数学周周练（3）.doc

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1、高三数学周周练（3）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.在复平面内，复数对应的点位于第四象限.2.命题“若，则”的否命题是若，则;3.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是600.（第6题图）11（第3题图）114.在区间上随机取一个实数，使得成立的概率为；5.向量的夹角为120°，=7．6.执行上面的框图，若输入的是6，则输出的值是720.7.过双曲线的一个焦点引它到渐进线的垂线，垂足为，延长交轴于，若，则该双曲

2、线离心率为3;8.计算，可以采用以下方法：ks*5u-11-构造恒等式，两边对x求导，得，在上式中令，得．类比上述计算方法，计算　　　．9.若函数（）在P处的切线平行于函数在Q处的切线，则直线PQ的斜率为10.已知，则的值为；11.点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为；12.已知数列中，，对任意，都成立，则102413.已知，点的坐标满足，则的取值范围为．14.已知函数存在整数零点的恰有3个，则的取值范围是。二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应

3、写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角C的大小；-11-（2）求的最大值．15.解：（1）sinA＋cosA＝2sinB即2sin(A＋)＝2sinB，则sin(A＋)＝sinB．因为0＜A，B＜p，又a≥b进而A≥B，所以A＋＝p－B，故A＋B＝，C＝．（2）由正弦定理及（Ⅰ）得＝＝[sinA＋sin(A＋)]＝sinA＋cosA＝2sin(A＋)．当A＝时，取最大值2．16.（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，

4、E为PD的中点，PA＝2AB＝2．（1）求证：PC⊥；（2）求证：CE∥平面PAB；（3）求三棱锥P－ACE的体积V．解析：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．取中点，连，则∵PA＝AC＝2，∴PC⊥．　　　　　（1分）∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥，又∠ACD＝90°，即，∴，∴，∴．(3分)∴．(4分)∴PC⊥．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（5分）（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．（7分）在Rt△A

5、CD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．（9分）∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．（10分）证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．-11-∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．（7分）∵E为PD中点，∴EC∥PN．（9分）∵EC平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．（10分）(3)由(1)知AC＝2，．在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝

6、2，得．（12分）则V＝．(14分)17.如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．17.(1)如图,不妨将摄影者眼部设为S点,做SC垂直OB于C,又故在中,可求得BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为3米………3分由SC=3

7、，在中,可求得又故即立柱高为米.---------------------------------------6分(2)（注：若直接写当时，最大，并且此时，得2分）连结SM,SN,在△SON和△SOM中分别用余弦定理,-11-故摄影者可以将彩杆全部摄入画面.………………………………………………………14分18.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为，一个焦点是(-1,0)，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是A、B.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若在椭圆上的点处的切线方程是.求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标；(Ⅲ)是否存在

8、实数使得恒成立？(点C为直线AB恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由..解：（I