高中数学 圆锥曲线小结理知识精讲 人教实验B版选修2－1.doc

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1、高二数学选修2－1圆锥曲线小结理人教实验B版【本讲教育信息】一、教学内容：选修2－1：圆锥曲线小结（第二章：第2.2，2.3，2.4节）二、教学目标：1、掌握圆锥曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求其方程，掌握其几何性质。2、能根据方程讨论曲线的性质，掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决有关直线和圆锥曲线的位置关系的一些问题。三、知识要点分析：1、知识框图：2、知识归纳：名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即当2﹥2时，轨迹是椭圆，当2＝2时，轨迹是一条线段当2﹤2时，轨迹不存在平面内到两定点的

2、距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线.即当2﹤2时，轨迹是双曲线当2＝2时，轨迹是两条射线当2﹥2时，轨迹不存在标准方程焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时：焦点在轴上时：常数的关，，最大，，最大，10系渐近线焦点在轴上时：焦点在轴上时：抛物线：图象方程焦点准线3、椭圆的性质：椭圆方程（1）范围：，椭圆落在组成的矩形中。（2）对称性：图象关于y轴对称，图象关于x轴对称，图象关于原点对称。（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：，。叫椭圆的长轴，长为2a，叫椭圆的短轴，长为2b。（4）离心率

3、：椭圆焦距与长轴长之比。。（）（5）椭圆的准线方程对于，左准线；右准线对于，下准线；上准线焦点到准线的距离（也叫焦参数）4、双曲线的几何性质：（1）顶点顶点：，特殊点：实轴：长为2a，a叫做实半轴长。虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。（2）渐近线双曲线的渐近线（）10（3）离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：e>1（4）等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线的性质：a、渐近线方程为：；b、渐近线互相垂直；c、离心率。（5）共渐近线的双曲线系：如果已知一双曲线的渐近线方

4、程为，那么此双曲线方程写成。（6）共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。（7）双曲线的准线方程：对于来说，左准线，右准线；对于来说，下准线；上准线。焦点到准线的距离（也叫焦参数）。5、抛物线的几何性质（1）顶点：抛物线的顶点就是坐标原点。（2）离心率：抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e＝1。6、判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程（A、B不同时为0）代入圆锥曲线的方程。消去（也可以消去）得到一个关于变量（或者变量）的一元二次方程。即，消去后的

5、。（1）当时，则有，直线与曲线相交；，直线与曲线相切；，直线与曲线相离。（2）当时，即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行。【典型例题】例1.已知椭圆及直线.（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程.分析：直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组成的方程组有解.10因此，只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式.已知弦长，由弦长公式就可求出.解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即.，解得.（2）设直线与椭圆的两个交点

6、的横坐标为，，由（1）得，.根据弦长公式得.解得.因此，所求直线的方程为.说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程.例2.直线与双曲线相交于、两点.当为何值时，以为直径的圆经过坐标原点.解：由方程组：得因为直线与双曲线交于、两点∴解得.设，，则：，，而以为直径的圆过原点，则，∴..于是，即.解得满足条件.故当时，以为直径的圆过原点.例3.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛

7、物线相交于两点、，求线段的长。解法一：由抛物线的标准方程可知，焦点，准线方程.由题设，直线的方程为：.①将①代入抛物线方程，整理得：.10解上述方程得：，分别代入直线方程得：即坐标分别为、.解法二：设，，则：＝8解法三：设、B（x2，y2）.由抛物线定义可知，等于点到准线的距离.即同理点拨：（1）解法一利用传统的基本方法求出两点坐标，再利用两点间距离公式求出的长。解法二没有利用直线求出坐标。而是利用韦达定理找到与的关系，利用直线截二次曲线的弦长公式求得，这是典型的设而不求思想，方法比解法一先进，解法三充分利用抛物线的定义，把过焦点的这一特