数学方法与数学思想

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1、数学之美2007年11月总第3期数学方法与数学思想编辑点评：该文谈悖论，但并不是面面俱到地谈悖论，而是专门谈悖论在三次数学危机中的作用，不但主题鲜明、集中，而且由于三次数学危机在数学史中的地位，文章的选题就也显得非常重要。作者对悖论与三次数学危机的关系，有比较准确、深入的理解；又查阅了大量的文献，用自己的语言组织成文，文字通顺，脉络清晰，繁简得当，论述到位。读者从这篇文章中，不仅能够了解什么是悖论，还能够了解什么是历史上的三次数学危机；不仅能够了解悖论在其中的作用，而且能够了解危机的解决对推动数学发展的作用；所以，本文有相当的可读性，是一篇优秀的论文。悖论在三次数学危

2、机中的作用王子珺（数学科学学院统计学系0510162）摘要：本文介绍了悖论在推动数学发展过程中的贡献，主要关注悖论引发的三次数学危机，以及研究悖论的重要意义。关键词：悖论；数学危机1什么是悖论有一种命题，你无法证明它究竟是真还是假，这种命题，就叫做悖论。悖论——paradox来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。悖论不是诡辩，它是完美无缺的，经得起推敲的命题，你既不能证明它是真，也不能证明它是假；或者说，你既可以证明它是真，也可以证明它是假。《辞海》中说，悖论就是逻辑学和数学中的一种“矛盾命题”。即如果你假定一个命题是真的，那么经过一系列正确的推导

3、可以得出该命题是假的；反之如果假定命题为假，则又能同样合理地推出命题为真。这一系列的“真真假假”，吸引了古今中外无数人对于逻辑和数学精密性的兴趣和思考，其中包括众多科学家、思想家以及无数爱好者。每一个著名悖论的提出，往往都标志着一个新理论的开始；每一次解决悖论的过程，都在将这个新理论向前推进。随着悖论不断地被提出和解决，众多学科得以快速发展前进。悖论当然也具有非常重要的数学意义。从古希腊的希伯斯提出的悖论开始，一直到罗素的关于集合论的悖论，很多悖论的提出都震撼了数学的基础，由此也对数学理论的发展起了巨大的推动作用。这里特别需要指出的是悖论在三次数学危机中的巨大作用，是

4、它们造成1数学之美2007年11月总第3期了这三次危机，而每一次危机的化解都使得数学这棵大树的根基更加稳固。2希伯斯悖论——第一次数学危机公元前六世纪，古希腊有个著名的学派叫做毕达哥拉斯学派，其创始人毕达哥拉斯（Pythagoras）是当时著名数学家与哲学家。在此学派的兴盛期，毕达哥拉斯的思想是绝对权威的真理。由他本人提出的著名命题“万物皆数”（这里的数指整数）是该学派的重要基石，他们的信仰是：世界上的一切都可归结为整数或整数之比，而且这一思想也被当时的人们所普遍接受。这个学派后来又发现了毕达哥拉斯定理（即勾股定理）。然而，正是这个在当时令众多人兴奋不已的定理，在毕达

5、哥拉斯学派的基石上砸出了裂缝。毕达哥拉斯定理提出后不久，其学派中的一个成员希伯斯（Hippasus）发现了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度L不能用整数或整数之比来表示（即2为无理数的证明）。这在当时就造成了矛盾，其悖论性在于：当时人们认为一切数都可表示为整数或整数之比，L是一个数，则L也可以被这样表示出来，但由勾股定理以及一系列定理可以得出L不可以被整数或其比所表示，这是违背了人们的普遍认知的，被认为是由正确的推理得出的“错误”结论。这一重大发现使得希伯斯受到毕达哥拉斯忠实门徒的追杀，直至他惨遭毒手，被扔进地中海。尽管他本人被杀害，但这个发现还是被许多人知道了。

6、希伯斯的问题导致了数学史上第一个无理数2的诞生。它的出现在当时的数学界乃至整个社会掀起了一场巨大风暴，它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，是对“万物皆数”的反驳。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击，从而导致了第一次数学危机。在这个问题的推动下，更多的数学家开始研究数的基础理论。为解决这一问题，人们把证明引入了数学，数学逐渐从经验科学变为演绎科学。直到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数的本质才被彻底搞清。它在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真

7、正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。无理数的发现，推动了除四则运算外的其他运算方法的使用。这次危机也使得人们感到几何应占有特殊地位，几何越来越受重视，欧氏几何学直至笛卡尔(Descartes)解析几何应运而生。著名的《几何原本》也是在这时诞生的。同时，人们明白了直觉和经验不一定靠得住，而步骤严谨的推理证明才是可靠的。由此，严密的逻辑推理证明成为今后解决数学以及其他各门学科问题的重要方法并沿用至今，古典逻辑也由此而生。而且，在解决这一问题的过程中，必然涉及到无限、极限和连续，而这些概念恰恰又是现代数学分析的基础。因此可以说，正是希伯斯悖论的解决，“万物