一类拟单边lipschitz非线性系统的观测器设计问题

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1、第26卷哈尔滨师范大学自然科学学报Vo1．26，No．22010第2期NATURALSCIENCESJ0URNALOFHARBINNORMALUNIVERSITY一类拟单边Lipschitz非线性系统的观测器设计问题柳小龙，徐明跃(哈尔滨师范大学)【摘要】根据拟单边Lipschitz条件和一个重要矩阵不等式，给出了该类非线性系统观测器存在的充分条件．关键词：拟单边Lipschitz条件；非线性系统；观测器设计；线性矩阵不等式=Ax+(，Y，)0引言Y=Cx(1)其中∈R，∈R，Y∈Rp，A∈R，C∈R和有关线性系统观测器设计问题一

2、直是个热门．通过使用Lipschitz条件．笔者给出了许多非线(，Y，u)：R×R×R一尺且关于是非线性的．性系统观测器存在的充分条件．在许多问题中，依赖于Lipschitz常数的充分条件会增加其观测器设为方便说明现定义如下记号．计的保守性．原因就在于不能够完全反映出一个·代表矩阵的转置；非线性系统的非线性部分的信息。而且，也存在·(b)代表mXn矩阵其中(i，-『)元素为b；大量的非线性系统，其非线性部分不是Lipschitz函数(见参考文献[1，6，7，13])．所以Lipschitz条·对于一个方阵Js，S>0(S<0，S≤

3、0)表明件对于非线性系统观测器设计有很多的局限．矩阵是正定的(负定的，半负定的)；·一般来说，非线性观测器设计有两种方法一Co(，Y)={A+(1一A)Y，0≤A≤1}；种是建立在非线性状态转化上，通过转化使得系·表明nx凡矩阵其中第行第k列的元素统动态误差变为线性的．所以就可用线性的方法为1其余元素为0．为非线性系统的维数．笔者来为其设计观测器，第二种方法不需要这种转化总假定(A，C)是可观的．(见参考文献[11，12，19])．观测器设计直接依赖定义1．1(，Y，)称为是带有Lipsehitz于原始系统(见参考文献[1—4，6

4、，7，9，10，13，常数r的Lipsehitz函数，如果14，16，l8，20，21])．If(，Y，)一(，Y，)I}≤}I一露I】，笔者关注一类拟单边Lipschitz非线性系统。所有根据拟单边Lipschitz条件和微分中值定理，得到，露∈R“，Y∈RP，∈Rm(2)了拟单边Lipschitz非线性系统存在的充分条件．(，Y，)称为是带有P的单边Lipschitz常数该充分条件是通过一组线性矩阵不等式给出的．矩阵的拟单边Lipsehitz函数，如果存在正定该方法不仅可应用在可微Lipschitz非线性系统矩阵P和实对称阵M

5、，其中它是依赖于P的，使中，而且可应用在非Lipschitz非线性系统中．得<，(，Y，)一／露，Y，u)，一戈>≤1过去已有结论(一戈)(一露)笔者考虑如下形式的系统所有，∈R，Y∈R，1／,∈R，(3)收稿日期：2010—03—10l6哈尔滨师范大学自然科学学报2010正其中，Y，Ⅱ)=尸(，Y，)．不等式(2)和(3)(，)，，“))，(10)分别称为Lipsehitz条件和拟单边Lipsehitz条件．其中=(1，2，⋯，)，(，Y，“)，i∈{1，2，注1．1对于一个Lipschitz非线性系统，从⋯，}对可微且满足参考

6、文献[15，16]可知=yPP+，是Pq)的一0≤(u)≤’(，

7、i}：1，2，⋯，n)，戈个单边Lipschitz常数矩阵，其中是Lipschitz常a数．所以Ll‘pschitz非线性函数一定是拟单边∈17，∈R，∈R(11)Lipsehitz非线性函数．注：注意到满足(11)的系统有很多是拟单边考虑(1．1)的观测器有如下形式：Lipschitz非线性系统，笔者称其为可微拟单边露=A露+(露，Y，M)+K(Y—C)(4)Lipschitz系统，同时也注意到条件(11)的非线性动态误差有如下形式系统可能不是一般的Lipschi

8、tz非线性系统．以下定理是笔者的主要结果．牙=(A一：C)牙+(，Y，)一(，)，，“)，定理2．1假设系统(1)的非线性部分(5)(，Y，“)满足条件(11)若存在增益阵使得其中=一露．下面的引理详见参考文献[7，2l，l5一l7]．—KC稳定，且下面矩阵不等式：引理1．1[15,16]考虑系统(1)满足LipsehitzfA—KC)尸+P(A—Kc)+条件(2)．若存在增益矩阵使得A—KC稳定，且厅∑∑PE+P∑PE<0．(12)不等式=1J=1I1(A—KC)P+P(A—KC)+y2PP+，<0存在对称正定阵P，其中P=∑∑

9、”则非线(6)性系统(1)有形如(4)的观测器．存在对称正定解P，其中y为(，y，u)的证明根据引理1．2，可证出MP1×Lipschitz常数，则(4)是(1)的观i见0器．引理1．2考虑满足拟单边Lipschitz条件(3)的非线性系统(1)若