2012综合题二（四边形综合）.doc

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1、2012综合题（四边形综合）1、已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)．……2分说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B(3,0)，∴AB＝4．∴在Rt△POC中，∵OP＝PA－

2、OA＝2－1＝1，∴∴b＝………………………………3分当时，∴　………………………………4分∴…………5分⑶存在．……………………………6分理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．由⑵知，AB＝4，∴

3、x

4、＝4，．∴x＝±4．∴点M的坐标为．…9分说明：少求一个点的坐标扣1分．②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，

5、MN＝CO＝．∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．∴点M的坐标为．……………………………12分说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．2、如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．（1）求证：点为线段的中点；（2）求证：①四边形为平行四边形；②平行四边形为菱形；（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．答

6、案（1）法一：由题可知．，，．（1分），即为的中点．（2分）法二：，，．（1分）又轴，．（2分）（2）①由（1）可知，，，，．（3分），又，四边形为平行四边形．（4分）②设，轴，则，则．过作轴，垂足为，在中，．平行四边形为菱形．（6分）（3）设直线为，由，得，代入得：直线为．（7分）设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：，，解得．得公共点为．所以直线与抛物线只有一个公共点．（8分）3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A（0，－4）、B（，0）、C（，0）三点，且-=5．（1）求、的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以B

7、C为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）解：（解析）解：（1）解法一：∵抛物线=－++经过点A（0，－4），∴=－4……1分又由题意可知，、是方程－++=0的两个根，∴+=，=－=62分由已知得（-）=25又（-）=（+）－4=－24∴－24=25解得=±3分当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．∴=－．4分解法二：∵、是方程－++c=0的两个根，即方程2－3+12=0的两个根．∴=，2分∴－==5，解

8、得=±3分（以下与解法一相同．）（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，5分又∵=－－－4=－（+）+6分∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D．7分（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P必是直线=-3与抛物线=－--4的交点，8分∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4，∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形．9分四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上．10

9、分4、已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。（1）求点C的坐标；（2）若抛物线（≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。注：抛物线（≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为解:（1）过点C作CH⊥轴，

10、垂足为H∵在Rt△OAB中，∠OAB＝