复合函数的高阶导数公式及其应用[1]

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1、万方数据第9卷第12期2010年12月南阳师范学院学报JournalofNanyangNormalUniversityV01．9No．12Dec．2010复合函数的高阶导数公式及其应用陈世哲1，陈仕洲2(1．中山大学信息科学与技术学院，广东广州510006；2．韩山师范学院教学与信息技术系。广东潮州521041)摘要：给出并应用数学归纳法证明了复合函数的高阶导数公式，推广和改进了相关文献的一些结论．曩后给出一些应用实例．关■词：复合函数；高阶导数；数学归蚋法中圈分类号：0172文献标识码：A文章编号：1671—61

2、32(2010)12—0022—03求复合函数的高阶导数是数学建模、最优控制、边值问题中常常遇到的问题¨‘2】，例如文献[2]在解决由非线性最优控制问题产生的非线性边值问题时提出幂级数解法，此法导致非线性项在引入参变量后成为复合函数，因而求出复合函数的高阶导数是该法用于非线性系统的关键．但是，复合函数高阶导数的计算是一个很困难的问题，这方面的工作较少门“】，例如文献[6]给出一类函数以口+bx2)高阶导数的公式．本文目的是给出复合函数高阶导数的一般公式，推广文献[6]的结果，我们使用的方法与文献[6]不同．最后，作

3、为本文结果的应用，给出了几类具体函数高阶导数公式．为探求复合函数高阶导数公式，我们假设下面探索过程中所涉及的函数导数都存在．由y=八u)，Ⅱ=妒(茗)得出d_Y=，’(u)9’(膏)，百d'y=，。(H)9’2(茹)+，’(扯)妒”(茗)，导{=／3’(u)9’3(善)+，。(扯)(39’(茹)妒”(茗))+，’(Ⅱ)妒‘3’(髫)，导{=／4’(Ⅱ)妒’4(茗)+／3’(u)(6妒’2(茗)妒。(名))+，。(u)(3妒以(茗)+49’(茗)妒‘3’(茗))+，’(Ⅱ)9‘．’(菇)⋯由此我们推测石d'y=；A叫

4、(童∥‘’(u)，其中A“(茗)是关于妒’，妒。，⋯，妒‘·’的整系数多项式·事实上，我们有·定理1若，，=八Ⅱ)，H=妒(茗)，其中^cp都有n阶导数，则出d'_zy．=耋半气比其帆'j(小薹(-1脚‘专㈡-1)．(1)若把9(茗+p)看做两个独立变量x,p之和的函数，则P“(童)=熹(9(膏+p)一证明我们用数学归纳法证明．万=1。2时显然成立．面dry=圭iffil学．1妒(石))‘1．(2)I，-O设(1)式对厅=后成立，即‘’(H)，上式两边求导得差等=萎k+l【寺未PI．；(鼻)+鲁譬导耋】／i)(“)

5、，其中PI．。=P．．．+．：=。．t一日■：2010一憾一15作者■介：陈世哲(1990一)．广东■棚人．主要从事泛函t分方程研究．万方数据帚12明陈世哲等：复合函效的高阶导数公式及其应用．23．—————————————————————————————————————————————一注意到q·J=i·C

6、．．-：，我们有熹气·(菇)2墓(一1)Jc-u‘≤昙(u』-‘)+；t-I(一1)-c．∥’1塞·面dj(uh)=乏l-I(一1)

7、c．u·菩姜(uh)+；I-I(一1)．ic：：：“J．1du以‘碚dk(

8、Ⅱh)=乏i-I(-1)一H。拳(弘h)一乏1-2(一1Hc

9、-lⅡ一塞．哥dk(Ⅱh_1)：‘P“·一“‰-警，即d出p·．·(髫)+‰．。面dtt=‰．i．从而得￡鲁=荟k+l【寺Ph+t,i(菇)】，I)(u)．这表明(1)式对于n=露+1也成立．因此(1)式获证．若把认髫+p)看做两个独立变量菇，p之和的函数。则掣=掣．于是，由二项式定理有参(出训叫圳‘=参毫(-1)Jc：(北”沁(名+p)广·：Z(一1)‘c：(9(茹))‘·S(9(髫+p))h．，-Od口再注意到业警世L=警=等，即得(2)式．定理2设

10、，有厅阶导数，则誊以口+k+“2)=毫丛生』上≮旦兰蔓业(6+2珏)¨‘cI·／H，(n)，其中，m：【詈J，Ⅱ；口+6髫+c霉2·(3)证明令口=9(茗)=口+坛+“2，则(妒(茹+p)+9(茹))‘一=p。～·[(6+2cx)+印】’一，参(出+p)一出))I—Ip-O=屯(6+2“)I．副．cl川，：{：：÷!i÷!；；{=i-；：—‰c：一。(b+2cx)。一：t．c；：!!』．!!—：：—!．2．：：j}}!创．(b+2cx)-一z·．ct．由定理1即得参以口地耐)=蓑毒静“‰)=熹迎业等剑(b+2cx)

11、^-就c·矿叫㈤，其中m奄推论1设，有n阶导数，则誊∥)=毫业坐掣㈣)--射∥哪∽)．其中m毒阱注1推论1给出的表达式比文献[6]简洁、计算方便．最后，作为本文结果的应用。我们举两例以结束本文．例1求(■与l和(arctan龙)“’．解令，(“)=“～，“=1+茹2．易知／”‘’(“)=(一1)州Hh一．根据定理2．(雨1)“’=毫(_1)I-‘亟业字堕业㈣