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1、函数积高阶导数的推广及其应用摘要：对莱布尼茨公式进行适当推广研究，利用行列式性质给出推广结论，最后举例说明它们在求高阶(偏)导数、不等式的一些应用.关键词：莱布尼茨公式；高阶导数；行列式；中图分类号：O175文献标识码：A微积分是数学分析的重要内容之一，而高阶求导在微积分中有着举足轻重的地位.关于两个函数乘积的高阶导数，我们一般选用莱布尼茨公式进行求解.本文将对莱布尼茨公式进行适当推广研究，并给出推广结果的应用例子.一、预备知识定义如果函数的导函数在点处可导，即存在，则称为函数在点处的二阶导数，记作、或.类似地,二阶导数的导数,叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,×××,一般地,(-
2、1)阶导数的导数叫做阶导数,分别记作或.二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.设、有阶导数，则易知：,,这里为常数.引理[]（公式）设在点处具有阶导数,则在点处也有阶导数,且有.二、主要结论定理1设都是的次可微函数，则有证明：下面我们用数学归纳法来证明5当时，由引理1知结论成立；假设时，结论成立,记，则当时，有为简便起见，记表示,记表示.，则由引理1知：.一般地,有下面结论：定理2设在区间上的阶可导函数，记，则.证明：我们仍用数学归纳法来证明当时，，结论成立；假设当时，结论也成立，为了书写方便，先记（*）于是.那么当时，有这表明当时，结论也成立.更一般地,有以下结论：5推论中，为区间的阶可导
3、函数，那么.这里表示法与（*）一致.证明：我们仍用数学归纳法来证明.当时，根据上面定理2可知，结论成立；假设当时，结论成立，那么按最后一行展开为，这里为的阶余子式,表示法与（*）一致,从而有由数学归纳原理，可知，对于一切自然数来说，上述结论都成立.三.应用举例5例1已知,其中在点的邻域内有-1阶导数，求.解：记为在点的邻域内-1阶导数，由莱布尼茨公式，可得：这里，,很明显，因此.例2设，在及其邻域内有定义，在有阶导数，令.试证明.证明：利用公式及,有上式子中最后不等式成立的原因：共有项，可以排成一方阵.而是此方阵地左上方三角形各项之和.例3已知函数，求的值.解:根据题意，对函数进行适当的变
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6、onclusion.Finally,throughtheexamplestellustheyinhighorderderivative,highorderpartialderivativeofsomeoftheapplication.Keywords:Laibunniwattsformula;Higherderivatives;DeterminantsandPermanents5
