材料力学 静不定结构-习题课

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1、习题课力法及正则方程力法的正则方程:⎧δX+δX+⋯+δX+Δ=Δ1111221nn1F1⎪⎪δ21X1+δ22X2+⋯+δ2nXn+Δ2F=Δ2⎨⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎪δX+δX+⋯+δX+Δ=Δ⎩n11n22nnnnFnδij表示Xi作用点沿着Xi方向由于Xj=1单独作用时所产生的位移ΔiF表示Xi作用点沿着Xi方向由于实际载荷单独作用所产生的位移设⎧Xi=1引起的弯矩为Mi⎪⎨Xj=1引起的弯矩为Mj⎪⎩实际载荷引起的弯矩为MFMiMjMiMF则δ=dx,Δ=dxij∫iF∫EIEIll对于静不定桁架:nFFlnFFlNi,kNj,kkNi

2、,kNF,kkδij=∑,ΔiF=∑EAEAk=1kkk=1kk例1：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F后，支座C有一下陷量Δ，试求刚架C处的反力。Fa/2a/2BCΔaAFFa/2a/2a解：BCΔFa/2X11aFa/2aA33a⎛12⎞4aδ11=⎜×+1⎟=EI⎝23⎠3EI33Fa⎡151⎤29FaΔ1F=−⎢×+⎥=−EI⎣862⎦48EI29F3EIΔ由δ11X1+Δ1F=−Δ得X1=−3644aF例2：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F。AB试求：刚架多余约束反力。aFAABX1X1BDCaaaFDCDCFaaAX1X1BFF23a2⎛a2a3

3、⎞5aδ=⎜×+a⎟=11EI⎝23⎠3EICD2231⎡Fa2aFa⎤5FaΔ1F=−⎢×+×a⎥=−aEI⎣232⎦6EI∆F1PX=−=1δ211FF例3：刚架的弯曲刚度为EI，承受力F。试求：刚架多余约束反力。aaF1ABaFFAX1X1Aaa2331⎛a2aa⎞7aδ=⎜+⎟=11EI⎝8324⎠24EIAB231⎡Faa⎤FaΔ=−⎢×⎥=−1FEI⎣22⎦4EI∆6F1PX=−=1δ711例4：已知刚架的弯曲刚度为EI，试求刚架内最大弯矩及其作用位置。FaaABCaEDaF解：aaABC2a33Faaδ11=,Δ1F=−EI3EIEDaX

4、1Fa由δ11X1+∆1F=0得X1=(↑)6aaa5FaMmax=作用于固定端A61FFaF例5：已知结构的弯曲刚度为EI，aa试求对称轴上A截面的内力。a22aFaA解：δ11=,Δ1F=−aEI4EI由δX+∆=0得1111FFFaX=a118∴FSA=01Fa/2FFaAX11FNA=,MA=28F/2F/2aa例6：已知刚架的弯曲刚度为EI。q试求截面A处弯矩。32aqaa解：δ11=,Δ1F=−qEIEIqAa由δX+∆=0得1111Fq12M=X=qaqA12另解：qFS2qaAF=2qa,M=X1SA2qaFSF例7:1/4圆形曲杆AC

5、B如图。半径为R，曲杆抗弯刚度为CBEI。求:A、B处的反力矩（只考虑杆件的弯曲变形）。解：一、分析AB点为多余约束，解除多余约束以反力代替，形成基本静定系FCB使用莫尔积分，在任一横截面上，XM=−FRcos（ϕ−π/4）ϕ∈[π/4，π/2]1M=Rsinϕϕ∈[0，π/2]AM21ππR322δ11=∫ds=∫0(Rsinϕ)Rdϕ=FCBEIEI4EIsMM1π2⎛⎛π⎞⎞φ∆1P=∫ds=∫π⎜−FRsin⎜ϕ−⎟⎟(Rsinϕ)RdϕAsEIEI4⎝⎝4⎠⎠3CBπFR∆F=−1F82EI∴X1=−=(↑)1δ22φ11A3）对静定基进行受

6、力分析，建立相当系统例8、求图示结构C的约束反力EI4）研究AB梁的B点与BC杆的B点的竖直相EA对线位移，建立正则方程a∆1=∆1P+δ11.X1=0AEIlBP−1解：1）判断静不定种类及次数约束反力一次静不定N12）解除B点约束，建立静定基PlMPlM3112Pl∆1P=.(.l.Pl..l)=⎫EI233EI⎬X11121l3a⎭δ11=.(.l.l..l)+.(a.1.1)=+EI23EA3EIEAX1P例9：平面刚架受力如图，各杆EI=常数。试求C处的约束力及支座A、B的约束反力。qCa/2a/2aABqq解：X11a/2Cqa2/8qa2

7、/8aAa1⎛a22a⎞a3δ=⎜⋅⎟=11EI⎜23⎟3EI⎝⎠1⎛a2qa2⎞qa4Δ1F=−⎜⎜⋅⎟⎟=−EI⎝28⎠16EI3qa由力法正则方程δ11X1+Δ1F=0得X1=16例10：平面刚架受力如图，各杆EI=常数。试求C处的约束力及支座A、B的约束反力.21Faω=12822aFaω=ω=122423231⎛a2a⎞aFaaFaδ=⎜⎟=Δ=−=−111FEI⎝23⎠3EI4EI28EI3Fa−∆8EI3F1FX=−=−=13δa8113EI例11：图示刚架EI为常量，画出FF刚架的弯矩图。aaAB解：X1a/217a3FFδ11=24E

8、I3Faa/2Δ1F=−4EIA6FFaX1=73___Fa3___FaF77__6F7M图4