第五章北航 材料力学 全部课件 习题答案

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1、第五章弯曲内力5-3试证明，在集中力F作用处（图a），梁微段的内力满足下列关系：FFF,MMS右S左右左而在矩为Me的集中力偶作用处（图b），则恒有FS右FS左,M右M左Me题5-3图证明：根据题图a，由Fy0，FS左FqdxFS右0保留有限量，略去微量qdx后，得FS右FS左F为了更一般地反映F作用处剪力的突变情况（把向下的F也包括在内），可将上式改写为FS右FS左F仍据题图a，由dxdxMC0，M右F()qdx()FS左dxM左022保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得

2、M右M左足标C系指梁微段右端面的形心，对题图(b)亦同。根据题图b，由Fy0，FS左qdxFS右0略去微量qdx后，得FS右FS左仍据题图b，由1dxMC0，M右Meqdx()FS左dxM左02保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得M右M左Me为了更一般地反映Me作用处弯矩的突变情况（把逆钟向的Me也包括在内），可将上式改写为M右M左Me5-6已知梁的剪力、弯矩图如图所示，试画梁的外力图。题5-6图解：根据题图中所给的FS图和M图，并依据三个微分关系和两个突变关系，可画梁的外力图，示如

3、图5-6a和b。图5-65-8图示外伸梁，承受均布载荷q作用。试问当a为何值时梁的最大弯矩值（即M）max最小。题5-8图解：1.求支反力由对称性可知，二支座的支反力相等（见图5-8a），其值为2qlFCyFDy()2图5-82．画弯矩图根据各梁段的端值及剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系，画弯矩图如图b所示。3．确定a值由进一步分析可知，只有当梁中点处的弯矩值、C与处弯矩的绝对值相等时，梁的最大弯矩值才可能最小，由此得12112qlqlaqa822解此方程，得12al2舍去增根，最后确定21al0

4、.207l25-9图示简支梁，梁上小车可沿梁轴移动，二轮对梁之压力均为F。试问：(1)小车位于何位置时，梁的最大弯矩值最大，并确定该弯矩之值；(2)小车位于何位置时，梁的最大剪力值最大，并确定该剪力之值。题5-9图解：1.求支反力由图5-9a所示位置，可求得两端的支反力分别为FFFAy(2l2ηd)，FBy(2ηd)(0ηld)ll3图5-92．确定最大弯矩值及小车位置根据支反力及梁上小车压力，画剪力、弯矩图如图b和c所示。由M图可以看出最大弯矩必在F作用处。求左轮处之M1，并求其极值，即可得到Mmax

5、。F2M1(η)FAyη[(2ld)η2η](0ηld)(a)l由dM1(η)0dη得2ldη(b)4此即左轮处M1达最大值的左轮位置。将式(b)代入式(a)，得弯矩的最大值为F2Mmax(2ld)(c)8l由对称性可知，当η(2l3d)/4时，右轮处的M2达到最大，其值同式(c)。3．确定最大剪力值及小车位置由剪力图不难判断，最大剪力只可能出现在左段或右段，其剪力方程依次为FFS1FAy(2l2ηd)(0ηld)lFFS2FBy(2ηd)(0ηld)l二者都是η的

6、一次函数，容易判断，当η0或η(ld)时，即小车无限移近梁的左端或右端时，梁支座内侧截面A+或B-出现最大剪力，其绝对值为4FF(2ld)smaxl5-11图示各梁，承受分布载荷作用。试建立梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。题5-11图(a)解：1.建立剪力、弯矩方程设截面x处的载荷集度为q(x)，由图5-11(1)可知，q0q(x)xl图5-11a由图5-11a(2)可得，剪力与弯矩方程分别为2q(x)xq0xFs(0xl)(a)22l3xxq0xM[q(x)](0xl)(

7、b)236l2．画剪力、弯矩图由式(a)和(b)可知，二者均为简单的幂函数，其函数图依次为二次下凹曲线及三次下凹曲线。5算出A与B两端的FS与M值，并考虑到上述曲线形状，即可绘出FS与M图，如图5-11a（3）和（4）所示。(b)解：由图5-11b(1)可知，半跨梁上分布载荷的合力为q0aFR2于是由平衡方程MB0与MA0，得支反力为q0aFAyFBy3图5-11b为研究方便，选取图5-11b(2)所示左半跨梁AC为研究对象。显然，截面C的剪力与弯矩分别为q0aFSC,MC06还可以看出，横截面

8、x1的载荷集度为q0x1qxa于是得AC段的剪力与弯矩方程分别为q0aqx1x1q0aq02FS(x1)x1(a)6262aq0aqx1x1x1q0aq03M(x1)x1x1x1(b)62366a同理，以右半跨梁CB段为研究对象[图5-11b(3)],得相应剪力与弯矩方程分别为q0aq02FS(x2)