第四章北航 材料力学 全部课件 习题答案

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1、第四章扭转4-5一受扭薄壁圆管，外径D=42mm，内径d=40mm，扭力偶矩M=500N•m，切变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为1DdDdR0()20.5mm，1mm22222于是，该圆管横截面上的扭转切应力为T500N81.89410Pa189.4MPa2222πR02π0.02050.001m依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为ττ189.4MPa该圆管表面纵线的倾斜角为6τ189.410

2、3rad2.5310rad9G75104-7试证明，在线弹性范围内，且当R0/≥10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过4.53%。解：薄壁圆管的扭转切应力公式为Tτ22πR0δ设R/δβ，按上述公式计算的扭转切应力为0TTτ(a)2232πR0δ2πβδ按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为d2R0δ，D2R0δ极惯性矩为π44π44πR0δ22Ip(Dd)[(2R0δ)(2R0δ)](4R0δ)32322由此得TδTT(21)τmax(R0)22(2R0)

3、32(b)Ip2πR0(4R0)π(41)比较式(a)与式(b)，得322τTπ(41)4123τmax2πT(21)2(21)R0当10时，241010.9548max210(2101)1可见，当R0/δ10时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算τ的最大误差不超过4.53％。4-81/m图a所示受扭圆截面轴，材料的曲线如图b所示，并可用C表示，式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分布图。题4-8图解：所

4、研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到d(a)dx根据题设，轴横截面上距圆心为ρ处的切应力为d1/mτρC()(b)dx由静力学可知，d1/m(m1)/mρdAC()ρdAT(c)AdxA取径向宽度为dρ的环形微面积作为dA，即dA2πρdρ(d)将式(d)代入式(c)，得d1/md/2(2m1)/m2πC()ρdρTdx0由此得d1/m(3m1)T()(e)dxd(3m1)/m2πCm()2将式(e)代入式(b)，并注意到T=M，最后得扭转切应力公式为1/

5、mM2πmd(3m1)/m()3m12横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。2图4-84-9在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC切出单元体ABCDEF（图b）。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。题4-9图解：单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。图4-9根据图a，不难算出截面AOOD上分布内力的合力为11d4TlFx1τmax(l)222πd同理，得截面OCFO1上分布内力的合力为4TlFx22πd方向示如图c。设Fx1与Fx2作用线到x

6、轴线的距离为ez1，容易求出2ddez1323根据图b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为πd/2Tπ8TFz200cos(θ)ρdρdθIp23πd同理，左端面上的合力为8TFz13πd方向亦示如图c。设Fz作用线到水平直径DF的距离为ey（见图b），由23Tπ2πd/23TFz2ey0cos()d0dIp24得T3πd3πdey0.295d48T32同理，Fz作用线到水平直径AC的距离也同此值。1根据图b，还可算出半个右端面DOE上竖向分布内力的合力为1π/2d/2Tρπ4T

7、Fy300sin(θ)ρdρdθIp23πd设Fy3作用线到竖向半径O1E的距离为ez2（见图b），由Tπ/22d/23TFy3ez20cosd0dIp8得T3πd3πdez0.295d284T32同理，可算出另半个右端面OFE以及左端面AOB、OCB上的竖向分布内力的合力为14TFyFyFy4123πd方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为ez。2由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。TTMx

8、0，Fy4(2ez2)Fz2eyFy1(2ez2)Fz1ey0228Tl8TlMy0，Fz2lFx1(2ez1)03πd3πd4Tl4TlMz0，Fy4lFy3l03πd3πd既然是力偶系，力的