热传导方程初值问题的解在概率统计中的应用.pdf

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1、第11卷第33期2011年11月科学技术与工程Vo1_11No．33NOV．201l167l一1815(2011)33—8282-04ScienceTechnologyandEngineering@2011Sci．Tech．Engrg．热传导方程初值问题的解在概率统计中的应用刘转转(中北大学理学院，太原030051)摘要在概率论中，求解形如E[()]=士J()C-dx的积分是很重要的。但即使()是初等函数如n，42fro"一e，sinmx等，用常规的分部积分法也不易处理。而1维热传导方程初值问题有形如前面的积分解和含有微分算子的级数解，由解的唯一性将把这类期望的积分运算转化为含有微

2、分的级数运算。通过举例说明了该方法在求解数字特征、特征函数等方面的简便实用性，并以公式形式给出了，emx，sinmx等解析函数的期望。最后作为补充，给出了n维类似的结论。关键词热传导方程初值问题分部积分微分算子数学期望数字特征特征函数中图法分类号0211．9；文献标志码码A在概率论中，求解连续型随机变量(X)的数注意到式(2)中的e一可以看作正态学期望E[(X)]是很重要的，本文将借助热传导方2a~／1T程初值问题解的特点来求解～Ⅳ(，or)所对应的分布N(，2at)的密度函数，所以结合定理1有以下命题：期望E[‘(x)]：~／2【一1TJr一‘()e-d。命题1若X～Ⅳ(，or)

3、，()∈C(R)，贝0(=1理论背景曲(4)已知一维齐次热传导方程初值问题：』ut=口2Mm(eR,t>0’(1)2应用【u(，0)=()(∈R)定理1当()∈C(R)且有界时，问题(1)存例1设X～Ⅳ(，0-2)，求X的期望，方差，4阶原在有界古典解J矩，3阶中心矩，4阶中心矩，偏度系数．，峰度系数。(2)解：E()：=_÷=l_rJe一dx：=2a√27rtr且当()∈C(R)时，问题(1)又存在级数解”⋯“(，)=薹k=0．(aJ2t．：)kq~(2k)()(3)D()：一2e-：~／2叮『J一。2011年9月9日收到作者简介：刘转转，女，中北大学理学院数学系助教，硕士。研究

4、方。2kk!警×2=：33期刘转转：热传导方程初值问题的解在概率统计中的应用8283例2设～Ⅳ(，or)，求E(e)和的特征E()=—函数P(t)=E(e蹦)，t∈R。(+譬×1+解：E(。mX)：—2r。一。～：,rror丽or×24=++30-；E7(x-u)]=—e一薹me—e丁~2ra2[(一]”(5)取m=it，代入式(5)便得特征函数P(t)=or×6(一)=O；E(e)：ee—To-2t2。利用常规的方法求特征函数时会遇到复变函E[(～。)]：~／一)e一：21TJ一。数中的围道积分H]，这里由于指数函数导数的规律性很容易得到结果，式(5)可以作为公式直接用，而且由式

5、(5)可得下面的结论。．4×24=30-；例3设～N(／z，or。)，证明X2一’E(sinmX)=sintrgte—T，E(eosmX)=cosm／xe一下。E[(]=-o；证明：一方面由式(5)有：E(e)：em／~e-Ttr2m2：e一c。srng+ie-To-2m2sinmlz；E[(】另一方面由期望的线性性有：430-—丁—3：0。E(ei)=E(cosmX)+iE(sinmX)。则由复数相等的充要条件得：利用常规的分部积分法积分前要进行变量代E(sinmX)=—sinmxe-=sine一譬换，而且还要用到重要的尤拉．普阿桑积分”e=2，相对于此利用式(4)只需求微分，(

6、6)E(c0s)=cos一⋯一rng学运算量大减。而且要指出的是对于积分”e，在文献[3]中是从二重积分(7)例1至例3给出了(X)为，e，sinmX，e一dyJk~-，结合夹逼准则得到的积分cosmX所对应的数学期望，式(5)、式(6)、式(7)可24-v2≤a2≥0，y≥0当公式直接用，再由期望的线性性和欧拉公式，也值，而事实上如果利用(4)更为简单，如下：可很快地算出形如E(enXsinmX)，E(enXcosmX)，E+~(sinnXcosmX)等的积分。这些无非就是形如e-x2e-x2e=minmxe一d，nx吣⋯d，2‘e=(1)=ri⋯。僦。一。等这样的积分，利用本文

7、的方法运算量大大—2—。减少。科学技术与工程11卷对于彤如E(X“sinmX)，E(XcosmX)的计，鼻，利定理2当()∈C(R)且有界时，问题式用欧拉公式和期望的线性性最终转化为E(Xe)(8)存在有界古典解的计算，见例4。，(儿)e-4a2td(9)例4设～N(／z，)，求E(Xe)。解：式(9)中=(，，⋯，)，=(。，，⋯，)；E()=⋯nm~-“22=且当()∈C(R)时，问题式(8)又存在级数解_l_f+oon。一。学：，、，J一薹，=薹，2，⋯，)(1