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1、导数在不等式证明中的应用学生姓名:李定峰指导教师:任孚鲛【摘要】:不等式与等式一样,在数学问题中都是有着十分重要而且广泛应用的课题,而不等式的研究范围更广,难度更大.有些不等式用初等数学方法是很难证明的,我们将以函数的观点认识不等式,应用导数为工具,使不等式的证明化难为易,迎刃而解.导数知识是数学中极其重要的部分,它的内容,思想和应用贯穿于整个数学的教学之中,是初等数学和高等数学中的一项重要内容.利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法,它能使不等式的证明化难为易,迎刃而解.在不等式证明的种种方法中,它占有重要的一席之地,具有
2、较强的灵活性和技巧性.掌握导数在不等式中的证明方法和技巧对学好高等数学有很大帮助.本文将通过举例和说明的方式来阐述不等式证明中导数的一些方法和技巧.【关键词】:导数;不等式;证明;函数.1、利用导数的定义证明不等式利用导数的定义证明不等式是一种比较普遍也是比较基本的方法,首先让我们先了解一下它定义定义1[1]:设函数在点的某一领域内有定义,在点处给自变量以增量点仍在该领域内,相应地,函数有增量如果当时比值的极限存在,则称此极限值为函数在点处的导数,记作,,或.并称函数在点处可导.导数的定义有两种等价的形式:（1）;10（2）.
3、例1设,并且,试证:.证明:由已知,可得,则,又由导数定义,,故,即.注:在用导数的定义证明不等式时,首先我们必须把原函数的一阶导数求出来,然后确定函数在一点的函数值和导数值,从而用导数的定义证明不等式.此题的关键是找到,且熟知常用函数的极限.2、利用导数的几何意义证明不等式导数的几何意义[1]:如图2.1所示,设是曲线上一点,点坐标为.过P点作曲线的切线,若在处可导,则是切线的斜率,且曲线过点的切线方程为,法线方程为.作平行于轴,平行于轴,则,而表示增量（为了说明问题,我们假定了）10A图2.1有的资料用运动变化的观点将曲线
4、的割线的极限位置所在的直线定义为在点处的切线.由这个定义出发,我们可以发现,函数图像上任意两点,连线斜率的取值范围,就是曲线上任一点切线斜率的范围.从而,利用导数的几何意义,即切线的斜率可以证明不等式.例2已知的定义域为,且,试证:证明:由于,所以原不等式等价于.即要证函数图象上任意两点连线的斜率,也就是曲线上任一点处切线斜率.因,当时,.所以.由导数的几何意义可知.从而,即.注:形如或（）型不等式的证明,都可以利用上述方法解决.3利用函数的单调性证明不等式该方法使用于某区间I上成立的不等式,一般地,证明区间I上成立的不等式时
5、,可以选择作为辅助函数.对求导,判断是大于0或是小于0,判定10的单调性,从而证明不等式.定理1设函数在区间I上可导,则在区间I上递增(递减)的充要条件是例1设x>0,证明不等式成立.证明令,显然.当时,有从而在(0,+∞)内严格递增,又在处连续,所以,当时,.即.(1)设,则时,所以在(0,+∞)内递减,又在处连续,故时,有即(2)由(1)﹑(2)可知,当时,有.注构造适当的辅助函数,使得证明简洁些是很有必要的.为此,往往对待证的不等式作适当的恒等变形.4利用拉格朗日中值定理证明不等式要使用拉格朗日中值定理,关键是找出函数及
6、其区间,看它是否满足格朗日中值定理的条件,还可结合不等式的特点来找.10定理2[1]（拉格朗日中值定理）若函数满足以下条件:（1）在闭区间上连续;（2）在开区间内可导;则在（a,b）内至少存在一点,使例2设为非线性函数,在[a,b]在连续,在（a,b）内可导,证明:η使.证明引入辅助函数由于非线性,,故,使得,而.设,（类似可证）,在与上分别使用拉格朗日中值定理,得而,即.所以,令故注一般地,若函数满足拉格朗日中值条件,则有不等式它是利用拉格朗日中值定理证明许多具体函数的不等式的主要思想.5利用函数的凸凹性证明不等式10函数的
7、凸凹性的重要应用之一是证明不等式,许多不等式问题用以前的方法（如中值定理、泰勒公式等）证明起来十分困难,但利用函数的凸凹性质,可以方便、快捷地得到结论.定理5为区间上的凸函数的充要条件是:对于区间上的任意三点总有例5利用是凸函数,证明:其中证明因为是凸函数,所以詹森不等式成立.即亦即从而注如果是区间上凸（凹）函数,那么由定义,对于区间上的任意两点,总有所以只需证明在区间上是凸（凹）函数即可证上述不等式.6利用泰勒公式证明不等式如果所给的不等式与给定的条件涉及函数及其相应阶的导数,可以考虑应用泰勒公式.如果有带拉格朗日余项的泰勒
8、公式,若能对余项给出估计就可得到相应的不等式.定理6[8]若在[a,b]上有连续的阶导数,且,当时,,则对时,有例6求证:证明原不等式等价于10因由定理6可知,当时,即注此题可将不等式变形,使用函数单调性方法或中值定理证明.例7设在[a,b]二阶可微,试证:,有证明取,将在处
