一类益于捕食者的捕获系统模型建立及定性分析-论文.pdf

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1、第35卷第4期通化师范学院学报(自然科学)Vo1．35No42014年8月JOURNALOFTONGHUANORMALUNIVERSITYAug．2014一类益于捕食者的捕获系统模型建立及定性分析华极鑫，冯维龙，姜玉秋(吉林师范大学数学学院，吉林四平136000)1引言率；代表捕食者自我密度制约的系数；d为度量捕1838年P．F．Verhulst⋯提出震撼生物数学界的食者对食饵需求程度的标准，体现出捕食者对食饵Logistic方程后，引起了人们对生物种群数量和结构的需求程度，捕食者对食饵需求越大，d反而越小．的变化探索的高潮，随后刻画种群间的相互作用的如果在捕食者食饵生存的小生境D中产生

2、对模型也不断涌现．1963年Rosenzweig和MacArthur捕食者有利的因素，增大了捕食者与食饵的相遇几提出反映捕食者捕获能力强弱的功能性反应函数是率4和捕获食饵的几率(例如，人们大量砍伐森林，双曲线的Rosenzweig—MacArthur_2模型，更加贴近让食饵没有躲藏之处，捕食者更容易的发现捕获食了生态种群相互作用的真实状态．但是前人在建立饵)等，捕食者的死亡率和密度制约系数也都随之模型时没有将捕食者种群的自身密度限制体现出改变，假设模型在没有食饵情况下捕食者的死亡率来，直到1974年，Bazykin参考Rosenzweig—MacAr．和自我密度制约的系数比值不变，据此建

3、立模型：thur模型，在此基础上添加了密度制约项，建立了d一N一^，r1一、一旦旦!IⅣPd⋯Kd+ⅣBazykin模型』：d：一6P一61P：(2)：rN(I一)一t^d+Ⅳ”、一系统(2)中e为对捕食者有利程度的系数；为捕食dt：^d+Ⅳ一6oP一6v。P(1)者有利情况下没有食饵时死亡率；6为捕食者有利Bazykin模型更好了描述了捕食者种群的自身情况下的密度制约系数．加上对捕食者有利的因素密度制约J，更好的完善了种群间相互作用模型．后捕食者在平衡点的数量就会大于不加有利因素时其中N(t)和P(t)分别为tt时刻食饵和捕食者种群捕食者的数量，这样也保证了捕食者在不能预计和的数量；r

4、为食饵在自然状态下的内禀增长率；为不能克服的自然状况下不至于灭绝．下面本文将对环境能容纳此种群个体的最大数量；c为捕食者对系统(2)的稳定性态详细分析．食饵的搜寻相遇的几率为捕食者吃掉食饵看的2系统分析能量转化率；ao代表没有食饵情况下捕食者的死亡为下文方便，我们用_F列记号：+收稿日期：2014—05一l1作者简介：华极鑫(1989一)女，吉林省松原市人，在读硕士．通讯作者：姜玉秋(1966一)，女，教授，吉林师范大学硕士生导师基金项目：国家外国专家局项目(120122200048)．·28·60)，=一r60<0，一4卢=(r+6o)>0，故o(O，0)是鞍点．定理3K

5、K，0)是稳定结点，K>Ⅳ0时，E(K，0)是鞍点．fdN=rN(1一N)一=Nf~(N，P)=F(N，P)【警=JP2=Pf2(N'P)=G(N，P)⋯=摹]'(3)(ii)列出系统(2)的Jac。bi矩阵J(N，P)有(一r+xK(c+e)=一一一)，。d+Iu¨“I记：一(0ll+n22)，JB=alln22一a12Ⅱ21，。a21a22卢=一r[一6。]．其。=，一一=当K0，>0，故E(，0)是稳定结点；当K>No时，有<0，故E(K，0)是鞍点．宣OP=一dJ_N，一zJ=ON=定理4K>No时，系统(2)存在唯一的正平衡点EⅣ，P)，并且是局部稳定的．(d+N

6、)2’¨：=一OP=一d+N—O0一证明先证明E，(N，P)的存在性和唯一性．即(N，P)：0和(N，P)=0有交点．(iii)No=6od由(Ⅳ，P)=等一=o，得到(C+e)一0‘足理1系统(2)在区域D上没有刚轨线．P三一(掣c+e)，’代0、‘入／＼(＼’，’P)，：一0中。0。，’有同证明选取Dulac函数B(N，P)：NP～，由6o~1r(K二：0一⋯计算得d+NOOKC+e一，’引Jl入／辅1tqr+=一一-一助函数ON’OPPKfd+备N一生N<⋯0．)=一一(K-一由Dulac判据知，系统(2)在区域D内不存在闭轨线．，系统(2)的等倾线．dN：O是由曲线z。：．Ⅳ：0

7、，h(N)在[Ⅳ0一l，+t]连续，因K>No，即K>z：(Ⅳ，P)=0组成；dP=0是由z一一3：Jp=0，厶：x(c+e)一’h(Ⅳn)=(N，P)=0组成．系统(2)有平衡点o(O，0)，E(K，61r(K—No)(d+No)0)，，(Ⅳ‘，P’)．dN一6o—KC+e<0，+o经计算Bazykin系统(1)的在正平衡点捕食者郴)=>0，的数量为：P：Ⅳ-一一系统(2)的在正平由零点定理知存在N≤K，使F(Ⅳ)=0，即存在正平