利用对偶空间构造最优等维码-论文.pdf

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1、第16卷第1期衡水学院学报Vol16．No12[)14年2月JoumulofHengshuiUniversityFeb2O14舣㈣于利用对偶空间构造最优等维码冲张晓寒的f衡水职业技术学院基础部，河北衡水0530001矿一∈摘要：令4(地d，k)表示射影空间上的(，M，d，k)码所含码字的最大个数，TI】ⅥEtzion等人给出了(，2k，k)的上界和下__界．我们发现当=2=2k+1时上界和下界相等，并利用对偶空间给出了最优等维码(2+1，2+1，2k，k)的一种构造关键词：等维码，对偶空间，构造中图分

2、类号：01574文献标识码：A文章编号：1673—2O65(2O14)01—0009—04是含有q个元素的有限域，是上的n维线性空间，上的所有线性子空间构成的集合(，称女，为上的阶射影空间．在()上定义度量，对于任意，F∈()，d(，F)=dim()+dimF2dim(XnF)C为射影空间中的码，C只()，码C的参数为(f／,M，d)，其中表示码C中码字个数，即=IC，d表示码C的最小距离，即C中不同码字距离的最小值，d=d(c)=min{d(c，C)C，C∈C，c≠c}．如果码C中每个码字的维数都是

3、(0)，码C称为等维码，码c的参数为(f／,M，d，(，d)表示射影空间只()中(f／,M，d)码所含码字的最大个数，Aq(，d，)表示射影空间)中(f／,M，d，)码所含码字的最大个数，能达到最大值的等维码称为最优等维码．TuviEtzion和AlexanderVardy在文献[1]中给出了A(，2k，的上界和下界，当=2k+1，q=2时，A。(2+1，2k，)=2“+1．本文利用对偶空间给出了最优等维q码f2+1，2“+1，2k，)的一种构造．1定义和引理下面的定义和引理是我们构造最优等维码的理论

4、基础．引理1l1l1设r(modk)，则对任意q有矿(1)111，f不整除)．v。，)，H=(／1,“2---“)，定义它们的内积为定义2设C是的子空间，C=∈对每个c∈C，，c)=o}，C也是上的线性子空间，称为C的对偶空间，并且dimC+dimC=_2Jl引理3设为有限域上的维向量空间，G，日为它的子空间，则有Gn日={0}的充要条件是G+日F-iil~N1)必要性：由G={∈(葺g)=O，∈G}，日={∈(葺)=0，Vh∈日}显然G，日，则G+日，又因为Gn日=(G+日)，由dⅡn(G+日)=d

5、imG+dimHdim(Gn日)=dimG+dim日dim(G+／t)=dimG)+dim日)收稿日期：2o13．1O．28作者简介：张晓寒(1972．)，女，河北衡水人，衡水职业技术学院基础部副教援，理学硕士1O衡水学院学报投稿平台htlp：／hsszcbptcnldnet／第16卷dim(G+日))=，得G+日=-2]充分性：任取∈GnH，则∈G，∈H，由G+H=，则与中任一向量正交，故是零向量，即GnH={0}．由引理1和引理2可以计算出上界下界之差为2．当q=2，，=1时，上界下界之差为0，当

6、=02k+1，001000：2时，由引理1和引理2可得出A，(2k+1，2k，k)=2“+1．下面我们利用对偶空间给出最优等维码0(2k+1，2“+1，2k，k)的一种构造方法．ggg2最优等维码(2k+l，2+1，2k，k)的构造～设G，H。“，dimG=k，dimH=k，Gf'lH={0}，可设+1000g11g12g1gg0100g21g22g2+1g+11g+12gk+l1000啊啊。0100。日：：：1“1“2由引理3知l00g1g12g1010g。g22g2001g+1gk+l100啊01

7、0h21h21Og1O1g200g+1。g+1的秩为2十1OO啊2g12hlkg10Oh22g22h2g2O“1g1“2g2g1啊1hi2hih212g20设(1，2，女)，M2(，，)，只需要g+11g+12gk+1000000，(2一M1)=k．取只需要，(。)=k，即只需要，。，，在上线性无关．因为，。，，，，记的一个本原元为，则■=()．(，。，，，)依次取第1期张晓寒利用对偶空间构造最优等维码11(12．．．k、、．(23)，，(。，1，，，)，显然，。，f13,,线性无关．所以满足条件的’

8、’，⋯，⋯，’(ill，。，f13,,)的取法有2“1种，每种情况对应的维子空间分别记为Gl，，G。，记000000对应的维子空间为，则Gl，，G。都和Go的交为零子空间-下面再说明al，G2,---两两的交为零子空间-，-●●、、，。l、，。记M。M=(fl，。。，，)，／／1，／／2，取1，，，，一口2吼对应取，，，0=1，2，2“2)，则，。。，，一在上线性无关，所以G，两两的交为零子空间，这样就得到Go，61，G2,---,G。共2“个满足条件的