一道几何综合考试题多解研究-论文.pdf

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1、一道几何综合考试题多解研究■刘述德题目：(2012年包头市中考试题)如图，已知AB为圆。的直径，过圆0上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD上EC于点D且交圆0于点F，连结BC、CF、AC．(1)求证：BC=CF；(2)若AD=6，DE=8，求BE的长．图2图3(3)求证：AF2DFtAB．因为ED切圆0于C，所以OC上ED，BH上ED，AD上ED，解析：命题者把四个直角三角形有机地组合在一个圆上，所以BH／／OC／／AD，提出三个问题，考查学生综合计算与证明的能力、添加辅助线．、／-、所以BC=CF，所以BC=CF．的能力．第一问证明线段相等，在圆中别

2、忘了寻求弧的相等．角证法4：如图4，连结BF．的相等和全等三角形；第二问求线段BE的长，若仔细观察分析因为AB是圆0的直径，A船=90。，所以BF上AD，又ED图形便会发现：求出圆的半径是求解BE长的关键所在，且有多上AD，所以BF／／ED，种解法；第三问证明“AF+2AD=AB”，因为结论是线段和差问一、，_、‘题，所以自然会想到用接长法或截短法证之．然而，结论中含有所以BC=CF，所以BC：CF．有系数2，观察图形使我们想到把“2DF”分解为“DF+DF”．用其中的一个“DF”去接长或截短证之．另外因为圆中有无数条直径，所以使我们还想到用特殊位置的直径

3、，即与线段AD平行1的直径去探索证法．同时还可把结论中的系数2变移为“—14F厶1+DF：÷二佃”去探索证法．可见：此问亦可用圆的半径证之．下图4图5证法5：如图5，过点C作CH上AB于且由证法l知AC平面就分别研究三问的多种解证方法．(1)证明BC=CF：分LBAD，CD上AD，CH上AB，所以CD=凹，CDF=LCHB=90。．证1：如图1，连结OC．因为ED切圆0于点C，所以OC上ED，因为ABCF是圆0内接四边形，所以CFD=LCBH，所以RtACDFRtACHB，所以CF=Be，又AD上ED，所以OC／／AD，所以曰C=CF．所以OCA=LCAD

4、．因为OC=证法6：如图6，过点B作BH上ED于．所以LOAC=OCA。所以OAC口，连结OC、BF．图1=CAD．因为BH上ED，OC上ED，AD上ED，所以BH／／OC／／AD，因为BO=OA，所以C=CF，所以BC=C所以HC=CD，证法2：如图2，连结并延长CO交圆D于日，因为AB是圆0的直径，所以厶4耶=～一图6因为LBOC=A0，所以BC=A且9O。．因为HC上ED，AD上ED，所以朋／／AD。曰丹D=liDF=DFB=90。．，，一、，，所以A=CF，所以BC=CF，所以BC=CF．所以四边形BHDF是矩形，所以BH=FD．证法3：如图3，过

5、点曰作BH上ED于日，连结OC所以RtABHCRtAFDC，所以BC=CF．证法7：如图7，连BF与OC相交于，因为／_BEH=／CEQ，／BHE=因为E1)是圆0的切线，所以OC上CqE，ED，所以lttAEHB—RtAEQC，所以蔚BE因为AB是圆0的直径，所以L_AFD：90。，一一CQ’所以上AD，ED上AD，所以BF∥图7图9因为c=5,BH=FD=3ED，，cq=所以OC上BF于，所以BK=KF，3因为OC是BF的中垂线，所以BC=CF．CD=3所以=了2所以日E=5(2)求BE的长．解法5：如图9，过B作BHj-ED于曰，又AD上ED，所以B

6、H解法1：如图8，连结OC．#ao，所以RtABHE~,,RtZXADE，所以,BE=BH在RtAADE中，AD=6，DE=8，由勾股定理得AE=10，因为oc#ao，所以AEOC~',AEAD，所以EO=，N：~AE：10，BH：FD：3-AD：6，，设圆0的半径为r，则EO=10一r，3所以,B而E=所以=古所以r=孚，．所以BE=10—2r=÷所：解法2：如图8，过点C作cq上AE于解法6：如图9，过B作BH上ED于日，q，因为删=EC—HC=5—3=2,BH：FD=3因为Z_AqC=／_ADC=90。，由证法，1知qac=／_DAC，AC=AC，所

7、以ZXAQC△ADC．在RtZXBHE中，=删+：2+(÷)．所以aq=AD=6，所以Eq=EA—图8所以船=4+号=25，所以船=寻．aq：10—6=4．r3)t明A，+2DF：AB因为Rt／XEQC,,,RtZXEDA，所以ED=Aco，证法1：如图10，延长AD至Ⅳ使DN=DDF．连结CN．所以÷=c6o，所以co=3，因为FDC=ⅣDC=90。，DN=在RtZXCQE中，EC2=EQ+cq：4+3，所以EC=5，DF，CD=CD，所以Rt△CDFRt△CDN，因为EC是圆0的切线，所以EC2=EB·EA，所以CF=CN=BC，所以／CND=CFD．

8、所以5=EB·10,所以E=_5．因为ABCF是圆0内接四边形，所