重庆2012年中考一道几何综合题多解研究

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1、重庆2012年中考一道几何综合题多解研究　　2题目：已知，如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2.　　（1）若CE=1，求BC的长；　　（2）求证：AM=DF+ME.　　解析：本题以菱形ABCD为基础图形，把直角三角形、等腰三角形有机地组合在该图形上，考查学生对菱形性质、等腰三角形的判定与性质和直角三角形的性质的综合运用.　　此题的第一问求BC的长，有三条思路：其一，先求出ED，再求出CD=BC；其二，先求出CE=CF，再求得BC；其三，

2、利用CE所在的直角三角形BEC，求得BC.　　此题的第二问证明AM=DF+ME，证明线段和差问题，显然，用接长法或截短法证之，不管用哪种方法都必须添加辅助线，即可以在两条短线段上的两端接长，又可以在长线段上的两端向内分别截短.由此可见：此题突出的是考查学生添加辅助线的能力.这里应指出的是：∠1=∠2可以去掉，命题仍然成立，只不过给证明增加了难度，还需要添加辅助线.下面就分别研究两问的多种解证方法.　　1.求BC的长　　图1解法1：如图1，连结BM，延长DF交AB的延长线于G，过点A作AH⊥CD的延长线于

3、H.6　　因为∠BEH=∠EHA=∠HAB=90°.　　所以四边形ABEH是矩形，　　因为过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，　　所以B、M、E三点共线，　　因为DC∥AG，所以△DME∽△GMB，△CME∽△AMB，　　所以CE1AB=EM1MB、ED1BG=EM1MB，所以CE1AB=DE1BG，　　易证△CFD≌△BFG，所以CD=BG=AB，　　所以CE=ED=1，所以CD=CE+DE=1+1=2.　　所以BC=CD=2.　　图2解法2：如图2，连结BD交AC于O.连结BM并延长BE与AD

4、延长线相交于N，过点A作AH⊥CD的延长线于H.　　因为CB∥NA，所以△CMF∽△AMD，△BMF∽△NMD，所以CF1AD=FM1MD，BF1ND=FM1MD，所以CF1AD=BF1ND，因为CF=BF，所以AD=ND，又因为∠ADH=∠NDE，∠AHD=∠NED.所以△AHD≌△NED，所以DH=ED，由解1知B、M、E三点共线，AH=BE，∠AHD=∠BED=90°，　　所以△AHD≌△BED，所以AD=BD=AB.　　所以△ABD是等边三角形，所以∠BAD=60°，　　所以∠ACD=∠BAC=

5、30°，易证△BFD≌△CFD，　　因为∠BCD=60°，所以∠CDF=30°，所以∠MCD=∠MDC，　　所以△MCD是等腰三角形，因为ME⊥CD，　　所以CE=ED=1，所以BC=CD=2.　　解法3：如图2，由解法2知△BCD是等边三角形，因为DF是△6DBC底边BC的中线.所以MF⊥BC.又ME⊥CD，且AC是∠BCD的平分线，所以MF=ME，∠FCM=∠ECM，∠CFM=∠CEM，所以△CFM≌△CEM，所以CF=CE=1，所以BC=2CF=2.　　解法4：如图2，由解法1知B、M、E三点共线

6、.由解法2知△BCD是等边三角形.　　因为BE⊥CD，所以△BEC是直角三角形，　　因为∠BCE=60°，所以∠CBE=30°，所以CE=112BC，　　因为CE=1，所以1=112BC，所以BC=2.　　解法5：如图2，由解法4知△BEC是直角三角形，　　由法2知∠BCE=∠BAD=60°，　　所以在Rt△BEC中，CE1BC=cos∠BCE=cos60°=112，　　所以11BC=112，所以BC=2.　　2.证明AM=DF+ME　　图3证法1：如图3，连结BM，延长DF与AB的延长线相交于点G.　

7、　由解1知B、M、E三点共线.所以BE⊥CD，易证△CFD≌△BFG，所以CD=BG=AB，所以BE是AG的中垂线，所以MA=MG.　　因为MG=FG+MF，FG=DF，由解法3知MF=ME，所以AM=DF+ME.　　证法2：如图3，由解2知∠MCD=∠MDC，　　因为CD∥AG，所以∠ACD=∠CAG，∠MDC=∠DGA，　　所以∠MAG=∠MGA，所以AM=GM.　　以下证法同证法1.6　　图4证法3：如图4，延长FD与垂直AB的线段AK相交于K，CD的延长线交AK于H.　　在Rt△MED中，由解法

8、2知∠MDE=30°，　　所以∠DME=60°，因为ME∥AK，　　所以∠HKD=∠DME=60°，因为KA⊥AB，　　所以∠BAK=90°，所以∠DAK=90°-∠BAD=90°-60°=30°，　　又因为∠MAD=112∠BAD=30°，　　所以∠MAK=∠MAD+∠DAK=60°.　　所以∠MAK=∠MKA=60°，所以∠AMK=60°，　　所以△MAK是等边三角形，所以AM=AK.　　因为∠CDF=∠DAH=30°，∠DCF=∠AD