圆环上Dirichlet空间中的Toeplitz算子及其代数性质-论文.pdf

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1、毪数学物理学报http：／／actams．wipm．ac．cn圆环上Dirichlet空间中的Toeplitz算子及其代数性质陈建军，。王晓峰(广州大学数学与信息科学学院广州510006；广71'1大学数学与交叉科学广东普通高校重点实验室广卅I510006)摘要：主要讨论了：(1)圆环上Dirichlet空间D(1

2、中R为换位子，s=∑丌．z=lJ二l关键词：Toeplitz算子；Berezin变换；Dirichlet空间；紧算子．MR(2000)主题分类：47B35中图分类号：OJ77．1文献标识码：A文章编号：1003～3998(2014)04—890—151Toeplitz算子的紧性1．1预备知识令D为复平面上的单位圆盘．记圆环Q=D＼rD，其中0

3、。mDirichlct至1日JD(52)(记为D)是由所有Laurent展开式没有常数项并满足如下条件的解析函数所组成的空间，IIfG=．显然它是p，的一个闭子空间．众所周知，空间D的对偶空间是Dq，因此可以定义它们之间配对运算，))如下((，_<，>=OfOg9)，收稿日期：2012—1114；修订日期：2014一O1—1OE—mail：chenjianjun081@gmail．com；wangxiaofeng514@tom．COIIl基金项目：广州市教育局高校科技计划项目(2012A018)资助通讯作者No．4陈建军等：圆环上

4、Dirichlet空间中的Toeplitz算子及其代数性质891其中(，)是Lebesgue空间和之间的配对运算．以往，有关单位圆盘上Hardy空间和Bergman空间中的Toeplitz算子以及其代数性质的研究比较普遍，那是由于单位圆盘是一个单连通区域，其上的许多性质大多较为简单．在文献『11中，WilliamTR研究了Dirichlet空间D的基本性质，包括边界值性质，零点性质，移位算子性质．在文献『2]中RichardR和wLlZhijian更进一步研究加权Dirichlet空间上的非负可测符号的Toeplitz算子的性质及

5、插值问题．然而，有关圆环上的结果却异常地少，比如在文献『31中王晓峰，曹广福给出Toeplitz算子的本质谱及Predholm性质．应用文献f4，定理4．15]的方法，我们可计算出Dirichlet空间Dp和Bergman空间的再生核’n#-1叫n⋯、)=；渊一引理1-1()一=证由于Q上的再生核(叫)具有一致连续性，所以有栅∑枇∑∞≠熹，=麦(：萎≠。磊)=叫nn一=∑i，于是有n=i一2n+2～：曼≠。一-Zn-1(叫)一~-1w-1：．证明完毕．定义1．2Dirichlet投影P：p，一Dp定义为))一(，6Lp'I)Beg

6、rnan投影p：Lp一定义为Pg(z)一(g，)=／g(叫)(w)dA(w)(Vg∈L)．引理1．3P是一个有界线性投影．证显然P是一个线性算子，下证它是有界的892数学物理学报Vol_34A应用引理1．1的结果以及积分收敛性，有oc㈤=(．IC()一~-lw-1})dA(w)P()㈦一<，>于是，当f∈Lp，时，应用三角不等式和Schwartz不等式，有爱cP，)ljP(L+of，>⋯，一-，一-。pI这表明P是一个有界算子．证明完毕．1．2主要结果定义1．4记。。为上的本性可测空间，Sobolev空间，()(记为。。，)定义为

7、={：札，，塞)．其上的范数为ulI。。，1⋯i。。)。。足义1．5Dirichlet至1日JD上的Toeplitz算于定义为)=P((z)=(妣0K))(∈，，∈．相应地，Bergman空间L上的Toeplitz算子定义为_9(。)=P(，)()：／()9()．IC(w)dA(w)(∈L。。(Q)，g∈L)．f2引理1．6定义(叫)=(叫)：，则当一aQ时，等0．hi应用引理l-l的结果，并注意(也()一，)=0，我们计算Jl~：~ll。=<㈤一IW-1>_JlJ～<~可-1w-1，可~-1,U3-1>，于是存在非负常数M1，M

8、2(M1M2)使得’取g∈D使得l。M，由定义可知9∈Lq；并且注意丧姑0，ll

9、ICl一+。。，和加，【<箍(1)<894数学物理学报vO1．34A又因为’一0(凡．i一+)，所以存在一常数，使得当i>时，有IX∑(i)l百1-1"2n+2l[+