探究以圆为背景的平面向量问题

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1、·辅教导学·数学通讯——2O13年第9期(上半月)27探究以圆为背景的平面向量问题张树辛童其林(福建省永定县抚市中学，364100)(福建省永定县城关中学，364100)以圆为背景的平面向量问题，是一类较为新点Al，A2，A3，A4，As，A6，则颖的问题，常出现在模拟题和高考题中，本文对这．+蕊．蕊+．蕊+类问题进行探究，希望对大家的学习有所帮助．．+．+．1．求值问题例1(2005年全国卷)AABC的外接圆的圆解析如图2，心为0，两条边上的高的交点为H，0霄一m(O-A-"+．茁+)，则实数一一

2、lI·A解法1特殊化：设AABC为直角三角形，则COS<；，>0为斜边BC的中点，H与A重合，所以O一一1X1×COS60。一，西，即m一1．图2解法2一般考虑．同理可得其余五项均由一碡一一m(++)一为妻，故所求结果等于3．=(一1)+m(苟+)．又_l_，因此．-B-C一0，即商．(点评本题用平面向量的数量积定义直接求一)一0，所以解，要注意向量的夹角(共起点后形成的角)问题．(m一1)．(一)+m(-O~+)．例3如图3，AB是半圆0(一)一0．的直径，C，D是弧AB的三等分又(+)．(一o-

3、~)一z一z一点，M，N是线段AB的三等分0，且．(一)=：=．不恒为0，因此点．若OA一6，则面．的AMoNB图3=】．值是．解法3利用特殊法推解析连结，0D，则得=1，下面来证明一面．-N-C=(+0-5)．(+)++，即：一．+．+．+．+．BDC如图1，设BC的中点为一2×2×COS180。D，连线AD、OH且ADn图1+6X2XCOS60。×2+6×6×COS60。OH—G，且G为重心，因此一2萄，又茸上一26．，o-5-l-，则AH∥OD，可得AAHG5f)点评用数量积定义直接求解不方便

4、时，通ADOG，所以一2一+．常将其转化成有长度、有夹角的向量，注意圆的几点评思路1利用特殊法；思路2利用实数与何性质的运用．本题也可通过建立直角坐标系用向量的乘法进行运算；思路3对特殊性得出结论，坐标法求解．再给出一般性证明．证明中运用了AABC的外例4(厦门双十中学2011届高三数学(理)心、垂心、重心三心共线，再利用三角形相似，巧妙热身考试卷)0为△ABC的内切圆圆心，且AB一地证明结论．5，BC一4，CA=3，下列结论中正确的是()例2在半径为1的圆上按顺序均匀分布着(A)．茁<．<．．28

5、数学通讯——2O13年第9期(上半月)·辅教导学·(B)o-X-．>碡．>．．·1l≤÷，故(雨+商)．≥一(当且仅(c)．一．一．．厶(D)．<茁．一．．当点P为OC的中点时取等号)．解析作出图形，如图4，B因此，(商+商)．的范围是[一1，o3．厶数量积的意义是实数，作差比点评利用圆心为AB的中点，将-PX+商较大小即可．转化为2P，求范围问题通常通过构造不等关系因为．一．一来处理，注意基本不等式的运用．OB·，由AB：5，BC一4，例7已知：两个非零向量a一(m一1，1"／一CA一3可知△AB

6、C为直角三1)，b一(一3，一3)，且a与b的夹角是钝角或直角形，c为直角，则．-cX

7、长度为1的平面不共线，如图7．P向量O和0百，它们的夹角为问题可转化为：当点P0120。．如图5所示，点C在以0在以AB为直径的圆面内为圆心的圆弧加上变动．若(A、P、B不共线)运动时，求图7一xo-X+商，其中z，图5m+的取值范围．结合图形可知：m+，2>1+l一2，m十<3∈R，则z+Y的最大值是．——解析设A0C—a．十3—6．因为．一z．+．-o-X，所以因此，m+n的取值范围是(2，6)，故选(D)．1点评注意到a与b的夹角是钝角或直角时，COS一z—TY：a·b一(一1)(m一3)+(

8、一1)(一3)≤0，如因为．一z．+商．，所以果利用这一结果直接求m+的取值范围，比较繁1cos(120。一a)一一去z+Y．琐．上面的解法结合图形来考虑，借用线性规划的厶思想来求解，化生为熟，化难为易．所以4．运动中的定值问题z+Y一2r-cosd+cos(120。一a)]例8如图8，已知圆MyJ一COSa十,／gsina一2sin(60。+口)≤2．为RtAABC的外接圆，A(一故+y的最大值为2．2，0)，B(0，一2√2)，点C在SC3．求范围问题Q＼M＼c轴