功能梯度板的非线性动力分析.pdf

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1、第27卷第l期固体力学学报Vol.27No.l2006年3月ACTAMECHANICASOLIDASINICAMarch2006*功能梯度板的非线性动力分析曹志远（同济大学航空航天与力学学院，上海，200092）摘要非线性材料功能梯度板件的动力分析是属于在数学方程上同时具有变系数、非线性、非定常特征的固体力学问题.文中首先将问题的变系数非线性偏微分方程组转化为各向异性常系数非线性常微分方程，然后用小参数法求得解析解，适用于各种形状、边界及功能梯度分布的板件非线性弹性振动分析.关键词功能梯度材料，非线性振动，平板，小参数法!"引言度梯度变化，因此这类问

2、题在基本方程上同时包含了近期固体力学研究的两个热点：偏微分方程的变功能梯度材料（FGM）是一种近期发展的新型系数与非线性，解析求解具有一定难度.文中首先将材料，其由多种不同材料介质沿空间按不同组分进原始三维变系数、非线性偏微分方程组转化为各向行复合，形成材料功能的梯度分布，从而满足构件不异性常系数的二维非线性偏微分方程；然后再将非同部位对材料使用性能的不同要求；同时，由于该种线性偏微分方程蜕化为非线性常微分方程；最后采材料及结构中各组分相呈连续变化，不存在明显的用小参数法将非线性常微分方程展开成一系列线性界面及性能的突变，因此具有明显优于一般层叠型微

3、分方程进行求解，获得了该类问题的完全解析解，与组合型新材料的特性.这种将性能各异的材料按适用于任意形状与边界条件的功能梯度板的非线性照设计意愿在结构内部非均匀、连续地合成的新型弹性振动分析.材料，使新材料的研制迈入了材料设计的更高层［l］次.#"非线性弹性功能梯度板的基本动力方程功能梯度材料是作为航空航天工业中特殊功能材料而开始研究的，加上其发展时间较短，因此功能理论分析第一步是将材料梯度变化引起的弹性梯度材料与结构的力学研究大多集中于热应力及裂力学三维变系数方程组转化为二维各向异性常系数［2］方程，这将是本节阐述的内容.纹，优化设计几方面，其它各力

4、学分支研究还存在大量空白与薄弱环节，特别是非线性与非定常问三维几何方程如弹性理论保持不变，因此根据［7］题.另外，功能梯度材料参数与空间坐标有关，其控薄板理论假定，可推得和匀质板一样的位移分量制方程是变系数的，数学上很难取得直接解析解，还（图l）存在大量富有挑战性的力学课题.目前，虽然对功能ìu（x，y，z，t）=-z6wï6x梯度材料常见的板壳结构力学分析提出多种力学模ï［3~6］í（vx，y，z，t）=-z6w（l）型，但由于数学分析上的困难，大都获得的是数ï6yï值解，能取得完全解析解的主要还是特定几何形状îw=w（x，y，t）与边界条件的线性

5、问题.及应变分量本文探讨功能梯度材料平板的非线性动力问62w62w62w!x=-z2，!y=-z2，"xy=-2z题，计及几何关系线性、材料非线性弹性（如陶瓷-金6x6y6x6y属功能梯度材料）.功能梯度板件的材料特性沿厚（2）*国家自然科学基金重点项目（l0432030）资助.2004-l2-l3收到第l稿，2005-l2-l2收到修改稿.·22·固体力学学报2006年第27卷计入变质量密度的三维动力平衡方程沿z积分（只计入板面横向外载（gx，y，I））有6Mx6Mxy+-Ox=0（6a）6x6y6Mxy6My+-Oy=0（6b）6x6y26Ox6

6、Oy6w+-Ph+g=0（6c）2图l6x6y6I式中功能梯度板的面质量密度h/2但三维物理方程中材料常数是z的函数，并考Ph=（Pz）dz-h/2虑应力-应变的非线性弹性关系O=（f8）=E（z）将式（6a）、（6b）代入式（6c），再代入式（4），可得功3［7］·［8-B（z）8］，计入Oz=0平板假定，有应力能梯度板的非线性动力方程为分量4w4w64w66D(4+4)+2（Dxy+2Dk）22-ìE（z）36x6y6x6yOx=2｛［8x-B（z）8x］+ïl-}（z）62w264w62w264wï33Dn[(2)4+(2)4]-ï}（z）［8

7、y-B（z）8y］｝6x6x6y6yï22224íE（z）3（3）3D6w+6w6w-Oy=2｛［8y-B（z）8y］+xyn[(2)(2)]22ïl-}（z）6x6y6x6yï3224w2wï}（z）［8x-B（z）8x］｝48D6w6+Ph6=ïkn()22236x6y6x6y6IîTxy=G（z）［}xy-B（z）}xy］26w则内力分量按其定义，代入式（3）、（2），可得L（w）+Ph2=（gx，y，I）（7）6Ih/222ì6w6wïMx=Oxzdz=-D2-Dxy2+-h/26x6yï2323!"非线性偏微分方程的求解ï6w6wDn(2)

8、+Dxyn(2)ï6x6yïïh/262w62w分析的第二步是将上述非线性偏微分方程蜕化íMy=Oyzdz=