chapter6 Fourier级数和积分变换.ppt

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1、数学物理方法傅立叶变换傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数的级数表示”1822年发表“热的分析理论”，首次提出“任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示”傅立叶变换傅立叶级数傅立叶变换狄拉克函数本章小结傅立叶级数三角级数定义由周期为2l的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数基本函数族组成：1，cos(nπx/l)，sin(nπx/l)性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性；傅立叶级数傅立叶展开傅立叶展开定理：周期为2l的函数f(x)可以展开为三角级数，展开式系数为狄利克雷收敛

2、定理收敛条件在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；在一个周期内至多只有有限个极值点。收敛结果当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值；当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。其它形式的三角函数正交完备集傅立叶级数展开的复数形式展开公式：基本函数族：正交性：展开系数：若已知是以为周期的周期函数，且满足狄利克雷条件，则可展成傅里叶级数其中,我们将称为的第次谐波，称为第次谐波的频率．频谱由于其中称为初相，称为第次谐波的振幅，记为，即若将傅里叶级数表示为复数形式，即其中恰好是次谐波的振幅的一半.我们称为复振幅.显然次谐

3、波的振幅与复振幅有下列关系：当取这些数值时，相应有不同的频率和不同的振幅，描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况．频谱图通常是指频率和振幅的关系图.称为函数的振幅频谱（简称频谱）.若用横坐标表示频率，纵坐标表示振幅，把点用图形表示出来，这样的图形就是频谱图.由于,所以频谱不连续的，称之为离散频谱．的图形是正弦级数和余弦级数1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数定理.对周期为2的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为2.在[0,]上

4、的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,]上展成例1.设f(x)是周期为2的周期函数,它在上的表达式为解:先求傅里叶系数将f(x)展成傅里叶级数.1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明:f(x)的情况见右图.周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–,]上的函数f(x)的傅氏级数展开法其它例2.将函数级数.则解:将f(x)延拓成以展成傅里叶2为周期的函数F(x),利用此展式可求出几个特殊的级数的和

5、.当x=0时,f(0)=0,得说明:设已知又内容小结1.周期为2的函数的傅里叶级数及收敛定理其中注意:若为间断点,则级数收敛于2.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数奇函数正弦级数偶函数余弦级数3.在[0,]上函数的傅里叶展开法作奇周期延拓,展开为正弦级数作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在[0,]上的函数的傅里叶展开法唯一吗?答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.思考与练习傅立叶变换傅立叶变换的意义数学意义从一个函数空间(集合)到另一个函数空间(集合)的映射；f(x)称为变换的原函数(相当于自变量)，F(ω)称为象函数

6、。应用意义把任意函数分解为简单周期函数之和，F(ω)的自变量为频率，函数值为对应的振幅。物理意义把一般运动分解为简谐运动的叠加；把一般电磁波(光)分解为单色电磁波(光)的叠加。物理实现分解方法：棱镜光谱仪、光栅光谱仪；记录方式：(用照相底版)摄谱仪、(用光电探测器)光度计。傅立叶变换非周期函数的傅立叶展开问题：把定义在（－∞，∞）中的非周期函数f(x)展开；思路：把该函数定义在（－L，L）中的部分展开，再令L→∞；实施：展开公式展开系数：困难展开系数cn为无穷小；幂指数nπx/L不确定。傅立叶变换解决方法：把nπ/L作为

7、新变量，即定义ωn=nπ/L；把cnL/π作为新的展开系数，即定义F(ωn)=cnL/π.公式的新形式：展开公式：展开系数：取极限：傅立叶变换：傅立叶积分：傅立叶变换例题1求矩形脉冲x(t)=rect(t/2T1)的傅立叶变换。解：傅立叶变换例题2将矩形脉冲f(t)=hrect(t/2T)展开为傅立叶积分。解：先求出f(t)的傅立叶变换代入傅立叶积分公式，得例题3求对称指数函数f(t)的傅立叶变换傅立叶变换傅立叶变换傅立叶变换的性质一般假定f(x)→F(ω)，g(x)→G(ω)奇偶虚实性f(x)为偶函数，F(ω)=∫f(

8、x)cos(ωx)dx/(2π)为实函数；f(x)为奇函数，F(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)为虚函数线性性质kf(x)→kF(ω)；f(x)+g(x)→F(ω)+G(ω)分析性质f’(x)→iωF(ω)；傅立叶变换位移性质f(x-a)→exp(-iωa)F(ω)；exp(iφx)f(x)→F(ω-